2.lim_(n to infty)(sqrt(n+1)-sqrt(n))sqrt(n+1)=_____.
题目解答
答案
原式可化为：
$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \sqrt{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left( (n+1) - \sqrt{n(n+1)} \right)$
对表达式进行有理化：
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) - \sqrt{n^2 + n}}{(n+1) + \sqrt{n^2 + n}} \cdot \left( (n+1) + \sqrt{n^2 + n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1) + \sqrt{n^2 + n}}$
分子分母同除以 $n$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
本题考查极限的计算，解题思路是先对原式进行化简，然后通过有理化的方式将式子进一步变形，最后通过分子分母同除以$n$的方法求出极限。
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对原式进行化简：
$\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n+1}=\lim_{n \to \infty} \left( (n+1) - \sqrt{n(n+1)} \right)$
这里是根据$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a - b$的公式进行化简。 -
对表达式进行有理化：
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) - \sqrt{n^2 + n}}{(n+1) + \sqrt{n^2 + n}} \cdot \left( (n+1) + \sqrt{n^2 + n} \right)=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1) + \sqrt{n^2 + n}}$
这里是根据$(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})=a^2 - b$的公式进行有理化。 -
分子分母同除以$n$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}$
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$。 -
计算极限：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}=\frac{1}{1 + 1}=\frac{1}{2}$