9.利用柱面坐标计算下列三重积分:-|||-(1) Ⅲzdv 其中Ω是由曲面 =sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =(x)^2+(y)^2 所围成的闭区域;-|||-(2) (1)((x)^2+(y)^2)dy 其中Ω是由曲面 ^2+(y)^2=2z 及平面 z=2 所围成的闭区域.

考查要点：本题主要考查三重积分在柱面坐标系下的计算，涉及空间区域的描述及积分顺序的确定。

解题思路：

1. 确定积分区域：将曲面方程转换为柱面坐标形式，找到曲面交线，确定积分限。
2. 转换积分表达式：利用柱面坐标变换公式，将被积函数和体积元素转换为柱面坐标形式。
3. 分步积分：按照柱面坐标下的积分顺序（通常先$z$后$r$，最后$\theta$）逐层计算。

破题关键：

• 交线求解：通过联立曲面方程确定积分区域的边界。
• 积分限转换：正确表达柱面坐标下$r$、$z$、$\theta$的范围。

第（1）题

步骤1：确定积分区域

曲面$z=\sqrt{2-x^2-y^2}$（上半球面）与$z=x^2+y^2$（抛物面）的交线满足：
$x^2 + y^2 = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$
令$r^2 = x^2 + y^2$，得方程$r^4 + r^2 - 2 = 0$，解得$r=1$，对应$z=1$。积分区域为$r \in [0,1]$，$z \in [r^2, \sqrt{2 - r^2}]$，$\theta \in [0, 2\pi]$。

步骤2：转换积分表达式

柱面坐标下，$x^2 + y^2 = r^2$，$dV = r \, dz \, dr \, d\theta$，积分变为：
$\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{r^2}^{\sqrt{2 - r^2}} z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$

步骤3：逐层积分

1. 对$z$积分：
   $\int_{r^2}^{\sqrt{2 - r^2}} z \, dz = \frac{1}{2} \left( (2 - r^2) - r^4 \right)$
2. 对$r$积分：
   $\int_0^1 r \left( \frac{2 - r^2 - r^4}{2} \right) dr = \frac{1}{2} \int_0^1 (2r - r^3 - r^5) \, dr = \frac{7}{24}$
3. 对$\theta$积分：
   $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
   最终结果：$\frac{7}{24} \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{12}$。

第（2）题

步骤1：确定积分区域

曲面$x^2 + y^2 = 2z$（开口向上抛物面）与平面$z=2$的交线为$r=2$。积分区域为$r \in [0,2]$，$z \in \left[ \frac{r^2}{2}, 2 \right]$，$\theta \in [0, 2\pi]$。

步骤2：转换积分表达式

被积函数$x^2 + y^2 = r^2$，积分变为：
$\int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{\frac{r^2}{2}}^2 r^2 \cdot r \, dz \, dr \, d\theta$

步骤3：逐层积分

1. 对$z$积分：
   $\int_{\frac{r^2}{2}}^2 r^3 \, dz = r^3 \left( 2 - \frac{r^2}{2} \right)$
2. 对$r$积分：
   $\int_0^2 \left( 2r^3 - \frac{r^5}{2} \right) dr = \frac{8}{3}$
3. 对$\theta$积分：
   $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
   最终结果：$\frac{8}{3} \cdot 2\pi = \frac{16\pi}{3}$。