题目
设A是正交矩阵，且|A|=-1,证明-1是A的特征值.
设A是正交矩阵，且|A|=-1,证明-1是A的特征值.
题目解答
答案
因A为正交矩阵，则
,又
于是有
故
,因此特征值为-1
解析
步骤 1：定义正交矩阵
正交矩阵A满足$A{A}^{T}=E$，其中$E$是单位矩阵，${A}^{T}$是A的转置矩阵。
步骤 2：利用正交矩阵的性质
由于A是正交矩阵，所以$A{A}^{T}=E$，即$A^{-1}={A}^{T}$。同时，正交矩阵的行列式$|A|$的绝对值为1，即$|A|=±1$。
步骤 3：利用行列式的性质
由于$|A|=-1$，则$|A^{-1}|=|{A}^{T}|=|A|^{-1}=-1$。因为$A^{-1}={A}^{T}$，所以$|{A}^{T}|=-1$。
步骤 4：证明-1是A的特征值
设$\lambda$是A的特征值，则存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$。因为$A^{-1}={A}^{T}$，所以${A}^{T}x=\frac{1}{\lambda}x$。由于$|{A}^{T}|=-1$，所以$\frac{1}{\lambda}$是${A}^{T}$的特征值。因为${A}^{T}$的特征值与A的特征值相同，所以$\frac{1}{\lambda}=\lambda$。解得$\lambda=±1$。由于$|A|=-1$，所以$\lambda=-1$是A的特征值。
正交矩阵A满足$A{A}^{T}=E$，其中$E$是单位矩阵，${A}^{T}$是A的转置矩阵。
步骤 2：利用正交矩阵的性质
由于A是正交矩阵，所以$A{A}^{T}=E$，即$A^{-1}={A}^{T}$。同时，正交矩阵的行列式$|A|$的绝对值为1，即$|A|=±1$。
步骤 3：利用行列式的性质
由于$|A|=-1$，则$|A^{-1}|=|{A}^{T}|=|A|^{-1}=-1$。因为$A^{-1}={A}^{T}$，所以$|{A}^{T}|=-1$。
步骤 4：证明-1是A的特征值
设$\lambda$是A的特征值，则存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$。因为$A^{-1}={A}^{T}$，所以${A}^{T}x=\frac{1}{\lambda}x$。由于$|{A}^{T}|=-1$，所以$\frac{1}{\lambda}$是${A}^{T}$的特征值。因为${A}^{T}$的特征值与A的特征值相同，所以$\frac{1}{\lambda}=\lambda$。解得$\lambda=±1$。由于$|A|=-1$，所以$\lambda=-1$是A的特征值。