求极限 lim _(xarrow 1)(1-(x)^2)tan dfrac (pi )(2)x

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理0乘以无穷大未定型的能力，需要灵活运用洛必达法则或变量替换法。

解题核心思路：
将原式转化为分式形式，使其成为0/0型未定式，从而应用洛必达法则。或者通过变量替换，将问题转化为更易处理的泰勒展开形式。

破题关键点：

1. 识别未定型：直接代入$x=1$时，分子$1-x^2 \to 0$，而$\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) \to \infty$，属于$0 \cdot \infty$型未定式。
2. 转换分式形式：将原式改写为$\frac{1-x^2}{\cot\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$，使其成为$0/0$型，便于应用洛必达法则。
3. 导数计算：正确求导分子和分母，注意链式法则的应用。

步骤1：转换分式形式
原式可改写为：
$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\cot\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$
此时分子和分母均趋近于$0$，属于$0/0$型未定式。

步骤2：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx}(1 - x^2) = -2x$
• 分母导数：$\frac{d}{dx}\left[\cot\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right] = -\frac{\pi}{2} \csc^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)$

代入洛必达法则后，极限变为：
$\lim_{x \to 1} \frac{-2x}{-\frac{\pi}{2} \csc^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)} = \lim_{x \to 1} \frac{4x}{\pi \sin^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$

步骤3：代入极限值
当$x \to 1$时，$\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \to \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$，因此：
$\lim_{x \to 1} \frac{4x}{\pi \sin^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)} = \frac{4 \cdot 1}{\pi \cdot 1^2} = \frac{4}{\pi}$