a 1 1-|||-16.设a1= 1 α2= a α3= 1 根据参数a的不同的值,求向量组a1,-|||-1 1 a-|||-α2,α3的一个极大无关组.

步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，即
$$
A = \begin{pmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵的秩
计算矩阵 $A$ 的秩，即求解 $A$ 的行列式，得到
$$
\det(A) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)
$$
步骤 3：讨论参数 $a$ 的不同取值
根据行列式的值，讨论参数 $a$ 的不同取值对矩阵 $A$ 的秩的影响。
- 当 $a \neq 1$ 且 $a \neq -2$ 时，$\det(A) \neq 0$，矩阵 $A$ 的秩为 3，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大无关组是它本身。
- 当 $a = 1$ 时，$\det(A) = 0$，矩阵 $A$ 的秩为 1，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大无关组是 $\alpha_1$。
- 当 $a = -2$ 时，$\det(A) = 0$，矩阵 $A$ 的秩为 2，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大无关组是 $\alpha_1, \alpha_2$。