题目

求sqrt(x^2)+3^(2)+sqrt((12-x)^2)+2^(2)的最小值？[图片]

求$\sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(12-x)^{2}+2^{2}}$的最小值？ [图片]

题目解答

答案

将问题转化为几何问题，设点 $A(0, 3)$，$B(12, 2)$，$P(x, 0)$。求 $AP + PB$ 的最小值。 通过反射原理，将 $B$ 关于 $x$-轴反射得 $B'(12, -2)$，则 $AP + PB = AP + PB'$，最小值为直线 $AB'$ 的长度。 计算 $AB'$ 的长度： \[ AB' = \sqrt{(12-0)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \] **答案：** $\boxed{13}$

解析

考查要点：本题主要考查几何最值问题中的反射原理应用，将代数表达式转化为几何距离之和，利用对称性求解最小值。

解题核心思路：

  1. 识别距离公式：将表达式中的平方根项视为两点之间的距离。
  2. 构造几何模型：通过反射对称性，将折线路径转化为直线距离。
  3. 应用两点间最短距离：直线距离即为最小值。

破题关键点：

  • 反射点的选取：将其中一个点关于x轴对称，使折线路径转化为直线。
  • 直线距离的计算：利用两点间距离公式求解对称点与原点的直线长度。

步骤1：几何意义转化
表达式 $\sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(12-x)^{2}+2^{2}}$ 可理解为：

  • 点 $P(x, 0)$ 到点 $A(0, 3)$ 的距离 $AP$，
  • 加上点 $P(x, 0)$ 到点 $B(12, 2)$ 的距离 $PB$。
    因此，问题转化为求 $AP + PB$ 的最小值。

步骤2：反射对称变换
将点 $B(12, 2)$ 关于 $x$-轴对称得到点 $B'(12, -2)$。此时，$PB = PB'$，原式可转化为 $AP + PB'$。

步骤3：直线距离最短
当点 $P$ 在直线 $AB'$ 上时，$AP + PB'$ 取得最小值，即直线 $AB'$ 的长度。
计算 $AB'$ 的长度：
$AB' = \sqrt{(12-0)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.$