题目
41)int(dx)/(1+sqrt(1-x^2));
41)$\int\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^{2}}}$;
题目解答
答案
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t \, dt$，$\sqrt{1 - x^2} = \cos t$。代入原积分得：
\[
\int \frac{\cos t}{1 + \cos t} \, dt = \int \left(1 - \frac{1}{1 + \cos t}\right) \, dt = t - \int \frac{dt}{1 + \cos t}
\]
利用半角公式 $\cos t = 2\cos^2 \frac{t}{2} - 1$，得：
\[
\int \frac{dt}{1 + \cos t} = \int \frac{dt}{2\cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}
\]
其中，$t = \arcsin x$，$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$。因此，原积分化简为：
\[
\boxed{\arcsin x - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C}
\]
或者表示为：
\[
\boxed{\arctan \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C}
\]
解析
步骤 1：变量替换
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t \, dt$，$\sqrt{1 - x^2} = \cos t$。代入原积分得： \[ \int \frac{\cos t}{1 + \cos t} \, dt = \int \left(1 - \frac{1}{1 + \cos t}\right) \, dt = t - \int \frac{dt}{1 + \cos t} \]
步骤 2：利用半角公式
利用半角公式 $\cos t = 2\cos^2 \frac{t}{2} - 1$，得： \[ \int \frac{dt}{1 + \cos t} = \int \frac{dt}{2\cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2} \]
步骤 3：反代回原变量
其中，$t = \arcsin x$，$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$。因此，原积分化简为： \[ \arcsin x - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C \] 或者表示为： \[ \arctan \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C \]
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t \, dt$，$\sqrt{1 - x^2} = \cos t$。代入原积分得： \[ \int \frac{\cos t}{1 + \cos t} \, dt = \int \left(1 - \frac{1}{1 + \cos t}\right) \, dt = t - \int \frac{dt}{1 + \cos t} \]
步骤 2：利用半角公式
利用半角公式 $\cos t = 2\cos^2 \frac{t}{2} - 1$，得： \[ \int \frac{dt}{1 + \cos t} = \int \frac{dt}{2\cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2} \]
步骤 3：反代回原变量
其中，$t = \arcsin x$，$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$。因此，原积分化简为： \[ \arcsin x - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C \] 或者表示为： \[ \arctan \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C \]