题目
4.下列元素乘积能成为五阶行列式中的项的是（）A. -a_(21)a_(34)a_(15)a_(53)a_(42)B. a_(42)a_(34)a_(52)a_(15)a_(21)C. a_(42)a_(34)a_(53)a_(15)a_(21)D. a_(31)a_(14)a_(25)a_(52)a_(43)
4.下列元素乘积能成为五阶行列式中的项的是（）
A. $-a_{21}a_{34}a_{15}a_{53}a_{42}$
B. $a_{42}a_{34}a_{52}a_{15}a_{21}$
C. $a_{42}a_{34}a_{53}a_{15}a_{21}$
D. $a_{31}a_{14}a_{25}a_{52}a_{43}$
题目解答
答案
C. $a_{42}a_{34}a_{53}a_{15}a_{21}$
解析
考查要点：本题考查五阶行列式项的构成条件，包括元素的行、列索引是否构成排列，以及符号的正确性。
解题核心思路：
- 排列验证：每个选项中的元素必须满足行索引和列索引均为排列（即不重复）。
- 符号判断：根据列排列的逆序数奇偶性确定符号，偶数为正，奇数为负。
破题关键点：
- 列排列唯一性：若列索引有重复，则不符合行列式项的定义。
- 逆序数计算：通过排列的逆序数确定符号，需准确计算排列中每个元素后比它小的元素个数之和。
选项分析
选项A
- 列索引：$1,4,5,3,2$（无重复，是排列）。
- 逆序数：排列$1,4,5,3,2$的逆序数为$5$（奇数），符号应为负，但选项为负，看似正确。
- 错误原因：实际排列应为$\sigma = (5,1,4,2,3)$，逆序数为$6$（偶数），符号应为正，与选项矛盾。
选项B
- 列索引：$2,4,2,5,1$（重复，非排列）。
- 直接排除：列索引重复，无法构成行列式项。
选项C
- 列索引：$2,4,3,5,1$（无重复，是排列）。
- 逆序数：排列$\sigma = (5,1,4,2,3)$的逆序数为$6$（偶数），符号为正，与选项一致。
- 正确性：满足行列式项的定义。
选项D
- 列索引：$1,4,5,2,3$（无重复，是排列）。
- 逆序数：排列$\sigma = (4,5,1,3,2)$的逆序数为$7$（奇数），符号应为负，但选项为正，矛盾。