题目
3.设函数 f(x)= ) (e)^x,xlt 0 a+x,xgeqslant 0 . 问当a为何值时函数f(x)在 x=0 处的极限存在?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算左极限
当 x 趋近于 0 时，x < 0，因此我们使用函数的第一部分 ${e}^{x}$ 来计算左极限。左极限为 $\lim_{x \to 0^-} {e}^{x} = {e}^{0} = 1$。
步骤 2：计算右极限
当 x 趋近于 0 时，x ≥ 0，因此我们使用函数的第二部分 $a + x$ 来计算右极限。右极限为 $\lim_{x \to 0^+} (a + x) = a + 0 = a$。
步骤 3：确定极限存在条件
函数 f(x) 在 x = 0 处的极限存在，当且仅当左极限等于右极限。因此，我们需要 $1 = a$。
当 x 趋近于 0 时，x < 0，因此我们使用函数的第一部分 ${e}^{x}$ 来计算左极限。左极限为 $\lim_{x \to 0^-} {e}^{x} = {e}^{0} = 1$。
步骤 2：计算右极限
当 x 趋近于 0 时，x ≥ 0，因此我们使用函数的第二部分 $a + x$ 来计算右极限。右极限为 $\lim_{x \to 0^+} (a + x) = a + 0 = a$。
步骤 3：确定极限存在条件
函数 f(x) 在 x = 0 处的极限存在，当且仅当左极限等于右极限。因此，我们需要 $1 = a$。