15.若lim_(xtox_{0)}f(x)=0，则（ ）.A. 当g(x)为任意函数时，才有lim_(xtox_{0)}f(x)g(x)=0成立B. 仅当lim_(xtox_{0)}g(x)=0时，才有lim_(xtox_{0)}f(x)g(x)=0成立C. 当g(x)为有界时，有lim_(xtox_{0)}f(x)g(x)=0成立D. 仅当g(x)为常数时，才能使lim_(xtox_{0)}f(x)g(x)=0成立

本题考查极限的乘法法则及有界函数在极限中的作用。核心思路是理解当$\lim_{x\to x_0}f(x)=0$时，乘积$\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)$的收敛性依赖于$g(x)$的性质。关键点在于：

1. 若$g(x)$无界，即使$f(x)\to 0$，乘积可能发散；
2. 若$g(x)$有界，则$f(x)\to 0$能保证乘积$\to 0$；
3. $g(x)$的极限是否存在与$g(x)$是否为常数无关。

选项分析

选项A

错误。若$g(x)$无界（如$g(x)=\frac{1}{x-x_0}$），即使$f(x)\to 0$，乘积可能不趋于0。

选项B

错误。若$g(x)$有极限（如$\lim_{x\to x_0}g(x)=C$），则$\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=0 \cdot C=0$，无需$g(x)\to 0$。

选项C

正确。若$g(x)$在$x_0$附近有界（即存在$M>0$，使得$|g(x)| \leq M$），则由极限性质：
$\lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = \left( \lim_{x\to x_0}f(x) \right) \cdot \left( \lim_{x\to x_0}g(x) \right) = 0 \cdot M = 0.$

选项D

错误。$g(x)$不一定是常数，只要其有界即可（如$g(x)=\sin\frac{1}{x-x_0}$在$x_0$附近有界）。