用完全平方公式分解因式.(1) x^2 - 4x + 4;(2) x^2 + x + (1)/(4);(3) 4x^2 + 12x + 9;(4) 4x^2 - 4x + 1;(5) (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2.用立方差分解因式.(1) x^3 - 27;

我们来分别用**完全平方公式**和**立方差公式**分解这些多项式。 --- ## 一、用**完全平方公式**分解因式 完全平方公式： - $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $ - $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $ --- ### (1) $ x^2 - 4x + 4 $ 观察形式： $ x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 $ 符合 $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $，其中 $ a = x $, $ b = 2 $ **答案：** $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ --- ### (2) $ x^2 + x + \frac{1}{4} $ 观察形式： $ x^2 + x + \frac{1}{4} = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 $ 符合 $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $，其中 $ a = x $, $ b = \frac{1}{2} $ **答案：** $$ x^2 + x + \frac{1}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 $$ --- ### (3) $ 4x^2 + 12x + 9 $ 观察形式： $ 4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 $ 符合 $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $，其中 $ a = 2x $, $ b = 3 $ **答案：** $$ 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 $$ --- ### (4) $ 4x^2 - 4x + 1 $ 观察形式： $ 4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 $ 符合 $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $，其中 $ a = 2x $, $ b = 1 $ **答案：** $$ 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 $$ --- ### (5) $ (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2 $ 我们观察这个式子是否可以看作一个完全平方公式。 设 $ A = x^2 + 1 $，那么原式为： $$ A^2 + 4x \cdot A + 4x^2 $$ 这个形式就是 $ A^2 + 2 \cdot A \cdot 2x + (2x)^2 $，即： $$ A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 $$ 其中 $ A = x^2 + 1 $, $ B = 2x $ 所以原式为： $$ (x^2 + 1 + 2x)^2 = (x^2 + 2x + 1)^2 $$ 而 $ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $ 所以最终为： $$ (x + 1)^4 $$ **答案：** $$ (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2 = (x + 1)^4 $$ --- ## 二、用**立方差公式**分解因式 立方差公式： $$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$ --- ### (1) $ x^3 - 27 $ 注意到 $ 27 = 3^3 $，所以： $$ x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) $$ **答案：** $$ x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) $$ --- ## 总结答案： ### 完全平方公式分解： 1. $ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $ 2. $ x^2 + x + \frac{1}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 $ 3. $ 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 $ 4. $ 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 $ 5. $ (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2 = (x + 1)^4 $ ### 立方差公式分解： 1. $ x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) $ --- ✅ **最终答案如下：** $$ \boxed{ \begin{aligned} &\text{(1)}\ (x - 2)^2 \\ &\text{(2)}\ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \\ &\text{(3)}\ (2x + 3)^2 \\ &\text{(4)}\ (2x - 1)^2 \\ &\text{(5)}\ (x + 1)^4 \\ &\text{(6)}\ (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \end{aligned} } $$