已知标量函数 u(x,y,z) = x^2 + y^2 - z 试求(1) 函数u在点M(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量(2) 函数u沿单位矢量e_1 = e_x cos 60^circ + e_y cos 45^circ + e_z cos 60^circ方向的方向导数，并将点M(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较

我们来逐步解答这个题目，涉及到梯度和方向导数的计算。

题目回顾：

标量函数：
$u(x, y, z) = x^2 + y^2 - z$

第(1)问：求函数 $u$ 在点 $M(1,1,1)$ 处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量

步骤 1：梯度的定义

梯度是标量函数在某一点上的向量，表示函数在该点上升最快的方向。梯度的定义为：

$\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$

步骤 2：计算偏导数

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial u}{\partial z} = -1$

步骤 3：代入点 $M(1,1,1)$

$\nabla u(1,1,1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1, -1) = (2, 2, -1)$

步骤 4：求梯度方向的单位矢量

梯度方向的单位矢量是将梯度向量单位化：

$|\nabla u| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

单位向量为：

$\vec{e}_{\nabla u} = \frac{1}{3}(2, 2, -1)$

第(1)问答案：

• 梯度：$\nabla u(1,1,1) = (2, 2, -1)$
• 单位梯度方向向量：$\frac{1}{3}(2, 2, -1)$

第(2)问：求函数 $u$ 沿单位矢量 $e_1 = e_x \cos 60^\circ + e_y \cos 45^\circ + e_z \cos 60^\circ$ 方向的方向导数，并比较该方向导数与梯度值

步骤 1：方向导数的定义

方向导数是函数在某一点沿某个方向的变化率，计算公式为：

$\frac{\partial u}{\partial \vec{e}} = \nabla u \cdot \vec{e}$

步骤 2：给出的单位矢量 $e_1$

$\vec{e}_1 = e_x \cos 60^\circ + e_y \cos 45^\circ + e_z \cos 60^\circ$

注意：这里的 $e_x, e_y, e_z$ 是单位坐标向量（即标准基向量），因此可以写成：

$\vec{e}_1 = (\cos 60^\circ, \cos 45^\circ, \cos 60^\circ)$

代入角度值：

• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

所以：

$\vec{e}_1 = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right)$

步骤 3：计算方向导数

我们已经知道：

• $\nabla u(1,1,1) = (2, 2, -1)$
• $\vec{e}_1 = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right)$

计算点积：

$\frac{\partial u}{\partial \vec{e}_1} = (2, 2, -1) \cdot \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$

步骤 4：比较方向导数与梯度值

• 梯度值（即梯度向量的模）：$|\nabla u| = 3$
• 方向导数：$\frac{1}{2} + \sqrt{2} \approx \frac{1}{2} + 1.414 = 1.914$

结论：

方向导数小于梯度的模，说明该方向不是函数上升最快的方向（即不是梯度方向）。

第(2)问答案：

• 方向导数：$\frac{\partial u}{\partial \vec{e}_1} = \frac{1}{2} + \sqrt{2} \approx 1.914$
• 梯度值：$|\nabla u| = 3$
• 比较：方向导数小于梯度值，说明该方向不是梯度方向。

最终答案总结：

(1)

• 梯度：$\boxed{(2, 2, -1)}$
• 单位梯度方向向量：$\boxed{\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)}$

(2)

• 方向导数：$\boxed{\frac{1}{2} + \sqrt{2}}$
• 梯度值：$\boxed{3}$
• 比较：方向导数小于梯度值，说明该方向不是梯度方向。