设 (x,y)=dfrac ({x)^2+(y)^2}({e)^xy+xysqrt ({x)^2+(y)^2}} ,则 (f')_(x)(1,0)= __ _.

考查要点：本题主要考查多元函数偏导数的计算，特别是当变量取特定值时的简化处理。

解题核心思路：

1. 固定变量：计算偏导数时，需将其他变量视为常数。本题中，计算$f'_x(1,0)$时，需固定$y=0$，仅对$x$求导。
2. 简化函数：当$y=0$时，原函数可大幅简化，从而避免复杂的求导过程。
3. 直接求导：简化后的函数形式简单，直接对$x$求导即可得到结果。

破题关键点：

• 观察特殊值：当$y=0$时，分母中的$e^{xy}$项为$1$，而$xy\sqrt{x^2+y^2}$项为$0$，分子为$x^2$，此时函数简化为$f(x,0)=x^2$。
• 避免复杂计算：无需对原函数直接求偏导，而是利用特殊值简化函数后再求导。

当$y=0$时，原函数$f(x,y)$可简化为：
$f(x,0) = \frac{x^2 + 0^2}{e^{x \cdot 0} + x \cdot 0 \cdot \sqrt{x^2 + 0^2}} = \frac{x^2}{1 + 0} = x^2.$

对$x$求导得：
$\frac{\partial f}{\partial x}(x,0) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.$

代入$x=1$，得：
$f'_x(1,0) = 2 \cdot 1 = 2.$