7.下列级数中，收敛的是【 】A. sum_(n=1)^infty(1)/(n)B. sum_(n=1)^infty(1)/(n^2)C. sum_(n=1)^infty(1)/(sqrt(n))D. sum_(n=1)^inftysin(1)/(n)

本题考查无穷级数敛散性的判别，解题思路是根据不同级数的特点，运用相应的判别方法来判断每个选项中级数的敛散性。

• 选项A：$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$
  • 此级数为调和级数，它是$p -$级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$当$p = 1$时的特殊情况。
  • 根据$p -$级数判别法：当$p>1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收敛；当$p\leqslant1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$发散。
  • 由于这里$p = 1$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散。
• 选项B：$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$
  • 该级数是$p -$级数，其中$p = 2$。
  • 因为$p = 2>1$，依据$p -$级数判别法，可知$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛。
• 选项C：$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$
  • 可将此级数变形为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$，它也是$p -$级数，此时$p=\frac{1}{2}$。
  • 由于$p=\frac{1}{2}\leqslant1$，根据$p -$级数判别法，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$发散。
• 选项D：$\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$
  • 当$n\geqslant1$时，$0<\frac{1}{n}\leqslant1<\frac{\pi}{2}$，所以$\sin\frac{1}{n}>0$，该级数是正项级数。
  • 使用极限比较判别法，与调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$进行比较，计算$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$。
  • 令$x = \frac{1}{n}$，当$n\rightarrow\infty$时，$x\rightarrow0$，则$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$。
  • 根据重要极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$，因为极限值$1$是大于$0$的有限常数，且调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以由极限比较判别法可知$\sum_{n = 1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$发散。