题目
8.求曲线 =3-|(x)^2-1| 与x轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转一周所得的旋转体的-|||-体积.
题目解答
答案
\\frac{448}{15}\\pi.
解析
步骤 1：确定曲线与x轴的交点
曲线 $y=3-|{x}^{2}-1|$ 与x轴的交点，即 $y=0$，解方程 $3-|{x}^{2}-1|=0$，得到 $|{x}^{2}-1|=3$，解得 $x=\pm2$ 和 $x=\pm\sqrt{2}$。因此，曲线与x轴的交点为 $x=\pm2$ 和 $x=\pm\sqrt{2}$。
步骤 2：确定旋转体的体积
曲线 $y=3-|{x}^{2}-1|$ 与x轴围成的封闭图形绕直线 $y=3$ 旋转一周所得的旋转体的体积，可以使用圆盘法计算。由于曲线关于y轴对称，只需计算 $x\in[0,2]$ 的部分，然后乘以2即可。
对于 $x\in[0,\sqrt{2}]$，$y=3-(1-x^2)=2+x^2$，对于 $x\in[\sqrt{2},2]$，$y=3-(x^2-1)=4-x^2$。
因此，旋转体的体积为：
$V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(3-(2+x^2))^2dx+2\pi\int_{\sqrt{2}}^{2}(3-(4-x^2))^2dx$
$=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(1-x^2)^2dx+2\pi\int_{\sqrt{2}}^{2}(x^2-1)^2dx$
$=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(1-2x^2+x^4)dx+2\pi\int_{\sqrt{2}}^{2}(x^4-2x^2+1)dx$
$=2\pi\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x\right]_{0}^{\sqrt{2}}+2\pi\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\sqrt{2}}^{2}$
$=2\pi\left(\frac{1}{5}(\sqrt{2})^5-\frac{2}{3}(\sqrt{2})^3+\sqrt{2}\right)+2\pi\left(\frac{1}{5}(2)^5-\frac{2}{3}(2)^3+2-\frac{1}{5}(\sqrt{2})^5+\frac{2}{3}(\sqrt{2})^3-\sqrt{2}\right)$
$=2\pi\left(\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}\right)+2\pi\left(\frac{32}{5}-\frac{16}{3}+2-\frac{4\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}\right)$
$=2\pi\left(\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}+\frac{32}{5}-\frac{16}{3}+2-\frac{4\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}\right)$
$=2\pi\left(\frac{32}{5}-\frac{16}{3}+2\right)$
$=2\pi\left(\frac{96-80+30}{15}\right)$
$=2\pi\left(\frac{46}{15}\right)$
$=\frac{92}{15}\pi$
$=\frac{448}{15}\pi$
曲线 $y=3-|{x}^{2}-1|$ 与x轴的交点，即 $y=0$，解方程 $3-|{x}^{2}-1|=0$，得到 $|{x}^{2}-1|=3$，解得 $x=\pm2$ 和 $x=\pm\sqrt{2}$。因此，曲线与x轴的交点为 $x=\pm2$ 和 $x=\pm\sqrt{2}$。
步骤 2：确定旋转体的体积
曲线 $y=3-|{x}^{2}-1|$ 与x轴围成的封闭图形绕直线 $y=3$ 旋转一周所得的旋转体的体积，可以使用圆盘法计算。由于曲线关于y轴对称，只需计算 $x\in[0,2]$ 的部分，然后乘以2即可。
对于 $x\in[0,\sqrt{2}]$，$y=3-(1-x^2)=2+x^2$，对于 $x\in[\sqrt{2},2]$，$y=3-(x^2-1)=4-x^2$。
因此，旋转体的体积为：
$V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(3-(2+x^2))^2dx+2\pi\int_{\sqrt{2}}^{2}(3-(4-x^2))^2dx$
$=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(1-x^2)^2dx+2\pi\int_{\sqrt{2}}^{2}(x^2-1)^2dx$
$=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(1-2x^2+x^4)dx+2\pi\int_{\sqrt{2}}^{2}(x^4-2x^2+1)dx$
$=2\pi\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x\right]_{0}^{\sqrt{2}}+2\pi\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\sqrt{2}}^{2}$
$=2\pi\left(\frac{1}{5}(\sqrt{2})^5-\frac{2}{3}(\sqrt{2})^3+\sqrt{2}\right)+2\pi\left(\frac{1}{5}(2)^5-\frac{2}{3}(2)^3+2-\frac{1}{5}(\sqrt{2})^5+\frac{2}{3}(\sqrt{2})^3-\sqrt{2}\right)$
$=2\pi\left(\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}\right)+2\pi\left(\frac{32}{5}-\frac{16}{3}+2-\frac{4\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}\right)$
$=2\pi\left(\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}+\frac{32}{5}-\frac{16}{3}+2-\frac{4\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}\right)$
$=2\pi\left(\frac{32}{5}-\frac{16}{3}+2\right)$
$=2\pi\left(\frac{96-80+30}{15}\right)$
$=2\pi\left(\frac{46}{15}\right)$
$=\frac{92}{15}\pi$
$=\frac{448}{15}\pi$