题目
c=1 是函数c=1的( ) A. 第一类可去间断点 B. 第一类跳跃间断点 C. 第二类间断点 D. 连续点。
是函数
的( )
A. 第一类可去间断点
B. 第一类跳跃间断点
C. 第二类间断点
D. 连续点。
题目解答
答案
运用洛必达公式，求极限值得
由于
,而f在点
无定义，所以 是函数的第一类可去间断点。
综上，本题答案为A.
解析
步骤 1：求极限
首先，我们求函数$f(x)=\dfrac {{x}^{2}-1}{x-1}$在$x=1$处的极限。由于直接代入$x=1$会导致分母为0，我们使用洛必达法则求极限。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则适用于求解形如$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$的极限。对于$f(x)=\dfrac {{x}^{2}-1}{x-1}$，当$x\rightarrow 1$时，分子和分母都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。求导后得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x}{1}=2$。
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}-1}{x-1}=2$存在，而$f(x)$在$x=1$处无定义，所以$x=1$是$f(x)$的第一类可去间断点。
首先，我们求函数$f(x)=\dfrac {{x}^{2}-1}{x-1}$在$x=1$处的极限。由于直接代入$x=1$会导致分母为0，我们使用洛必达法则求极限。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则适用于求解形如$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$的极限。对于$f(x)=\dfrac {{x}^{2}-1}{x-1}$，当$x\rightarrow 1$时，分子和分母都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。求导后得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x}{1}=2$。
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}-1}{x-1}=2$存在，而$f(x)$在$x=1$处无定义，所以$x=1$是$f(x)$的第一类可去间断点。