题目

15. (5.0分) 已知线性方程组的系数矩阵A是4×5阶矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列结论正确的是____ (A)A的列向量组线性无关; (B)线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关; (C)线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关; (D)线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关. A B B D C A D C

题目解答

答案

已知 $A$ 是 $4 \times 5$ 矩阵，行向量组线性无关，即行秩为 4。 - **选项A**：列秩最多为 4，但有 5 列，故列向量组线性相关，错误。 - **选项B**：增广矩阵 $\overline{A}$ 为 $4 \times 6$ 矩阵，添加一列常数项不改变行秩，仍为 4，行向量组线性无关，正确。 - **选项C**：$\overline{A}$ 的列秩最多为 4，任意四个列向量可能线性相关，错误。 - **选项D**：$\overline{A}$ 有 6 列，列秩最多为 4，列向量组线性相关，错误。 **答案：** $\boxed{B}$ **解析：** 行向量组线性无关的矩阵，其行秩等于行数。增广矩阵添加列后，行秩不变，故行向量组仍线性无关。 **答案：** $\boxed{B}$ **答案：** $\boxed{B}$ **解析：** 行向量组线性无关的 $4 \times 5$ 矩阵，行秩为 4。增广矩阵添加一列后，行秩仍为 4，行向量组线性无关。 **答案：** $\boxed{B}$

解析

本题主要考察线性代数中矩阵的秩、向量组线性相关性以及增广矩阵的性质，具体分析如下：

核心知识点回顾

矩阵的秩：矩阵的行秩等于列秩，且行秩≤行数，列秩≤列数。
向量组线性无关的等价条件：向量组线性无关⇨其秩等于向量个数。
增广矩阵的性质：线性方程组的增广矩阵$\overline{A}$是在系数矩阵$A$的基础上添加一列常数项得到的，行数与$A$相同，列数比$A$多1。

题目条件转化

已知$A$是$4×5$矩阵（4行5列），且$A$的行向量组线性无关：

$A$的行向量组有4个向量（行数），线性无关⇨$A$的行秩=4（等于行数）。
由行秩=列秩，$A$的列秩=4，但$A$有5列（列数>列秩），故$A$的列向量组线性相关。

选项逐一分析

选项A：$A$的列向量组线性无关

$A$的列秩=4<5（列数），列向量组必线性相关，错误。

选项B：增广矩阵$\overline{A}$的行向量组线性无关

增广矩阵$\overline{A}$是$4×6$矩阵（4行6列），添加一列常数项不改变行数，行秩仍等于$A$的行秩=4（等于$\overline{A}$的行数），故$\overline{A}$的行向量组线性无关，正确。

选项C：$\overline{A}$的任意四个列向量线性无关

$\overline{A}$的列秩=行秩=4（列秩≤行数=4），但“任意四个列向量”可能包含线性相关的情况（例如四个列向量可能是线性相关的），错误。

选项D：$\overline{A}$的列向量组线性无关

$\overline{A}$有6列（列数>列秩=4），列向量组必线性相关，错误。