2.设随机变量X,Y相互独立,且均在区间[0,1]上服从均匀分布,求Z=X+Y的概率密度f_(Z)(z).

为了求解 $ Z = X + Y $ 的概率密度 $ f_Z(z) $，其中 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立且均在区间 $[0,1]$ 上服从均匀分布，我们可以使用卷积公式。卷积公式适用于求两个独立随机变量之和的概率密度。 ### 步骤1: 写出 $ X $ 和 $ Y $ 的概率密度函数 由于 $ X $ 和 $ Y $ 均在区间 $[0,1]$ 上服从均匀分布，它们的概率密度函数分别为: \[ f_X(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] \[ f_Y(y) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] ### 步骤2: 使用卷积公式 卷积公式 states: \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx \] ### 步骤3: 确定积分范围 由于 $ f_X(x) $ 和 $ f_Y(y) $ 都在 $[0,1]$ 上非零， $ f_Y(z-x) $ 非零当且仅当 $ 0 \leq z-x \leq 1 $。因此， $ x $ 的积分范围是: \[ \max(0, z-1) \leq x \leq \min(1, z) \] ### 步骤4: 分情况讨论 $ z $ 的取值 根据 $ z $ 的取值范围，积分范围会有所不同。我们分以下三种情况讨论: #### 情况1: $ 0 \leq z \leq 1 $ 此时， $ \max(0, z-1) = 0 $ 且 $ \min(1, z) = z $。积分变为: \[ f_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) \, dx = \int_0^z 1 \cdot 1 \, dx = z \] #### 情况2: $ 1 < z \leq 2 $ 此时， $ \max(0, z-1) = z-1 $ 且 $ \min(1, z) = 1 $。积分变为: \[ f_Z(z) = \int_{z-1}^1 f_X(x) f_Y(z-x) \, dx = \int_{z-1}^1 1 \cdot 1 \, dx = 1 - (z-1) = 2 - z \] #### 情况3: $ z < 0 $ 或 $ z > 2 $ 此时， $ f_Z(z) = 0 $，因为 $ X $ 和 $ Y $ 的取值范围是 $[0,1]$，它们的和 $ Z $ 的取值范围是 $[0,2]$。 ### 步骤5: 合并结果 将以上结果合并，得到 $ Z $ 的概率密度函数: \[ f_Z(z) = \begin{cases} z & \text{if } 0 \leq z \leq 1 \\ 2 - z & \text{if } 1 < z \leq 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] ### 最终答案 \[ \boxed{f_Z(z) = \begin{cases} z & \text{if } 0 \leq z \leq 1 \\ 2 - z & \text{if } 1 < z \leq 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}} \]