题目
求由下列各曲线所围成的图形的面积:-|||-(1) =dfrac (1)(2)(x)^2 与 ^2+(y)^2=8 (两部分都要计算);-|||-(2) =dfrac (1)(x) 与直线 y=x 及 =2;-|||-(3) =(e)^x, =(e)^-x 与直线 =1;-|||-(4) =ln x, y轴与直线 =ln a, =ln b(bgt agt 0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线交点
对于曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$，我们首先找到它们的交点。将 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$，得到 ${x}^{2}+\left(\dfrac {1}{2}{x}^{2}\right)^{2}=8$，即 ${x}^{2}+\dfrac {1}{4}{x}^{4}=8$。解这个方程，得到 $x=\pm2$，因此交点为 (-2,2) 和 (2,2)。
步骤 2：计算第一部分面积
取x为积分变量，x的变化范围为 $[ -2,2] $，相应于 $[ -2,2] $ 上的任一小区间 $[ x,x+dx] $ 的窄条面积近似于高为 $\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$、底为dx的窄矩形的面积，因此有 ${A}_{1}={\int }_{-2}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx=2{\int }_{0}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx$。计算这个积分，得到 ${A}_{1}=2{[ \dfrac {x}{2}\sqrt {8-{x}^{2}}+4\arcsin \dfrac {x}{2\sqrt {2}}-\dfrac {1}{6}{x}^{3}{] }_{0}=2\pi +\dfrac {4}{3}$。
步骤 3：计算第二部分面积
图形D2的面积为 ${A}_{2}=\pi {(2\sqrt {2})}^{2}-(2\pi +\dfrac {4}{3})=6\pi -\dfrac {4}{3}$。
步骤 4：计算第二题的面积
取x为积分变量，x的变化范围为[1,2]，相应于[1,2]上的任一小区间 $[ x,x+dx] $ 的窄条面积近似于高为 $x-\dfrac {1}{x}$、底为dx的窄矩形的面积，因此有 $A={\int }_{1}^{2}(x-\dfrac {1}{x})dx={[ \dfrac {1}{2}{x}^{2}-\ln x] }^{2}=\dfrac {3}{2}-\ln 2$。
步骤 5：计算第三题的面积
取x为积分变量，x的变化范围为[0,1]，相应于[0,1]上的任一小区间 $[ x,x+dx] $ 的窄条面积近似于高为 ${e}^{x}-{e}^{-x}$、底为dx的窄矩形的面积，因此有 $A={\int }_{0}^{1}({e}^{x}-{e}^{-x})dx=e+\dfrac {1}{e}-2$。
步骤 6：计算第四题的面积
取y为积分变量，y的变化范围为[lna,lnb]，相应于[lna,lnb]上的任一小区间 $[ y,y+dy] $ 的窄条面积近似于高为dy、底为e^y的窄矩形的面积，因此有 $A={\int }_{\ln a}^{\ln b}e^{y}dy=[e^{y}]_{\ln a}^{\ln b}=b-a$。
对于曲线 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 与 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$，我们首先找到它们的交点。将 $y=\dfrac {1}{2}{x}^{2}$ 代入 ${x}^{2}+{y}^{2}=8$，得到 ${x}^{2}+\left(\dfrac {1}{2}{x}^{2}\right)^{2}=8$，即 ${x}^{2}+\dfrac {1}{4}{x}^{4}=8$。解这个方程，得到 $x=\pm2$，因此交点为 (-2,2) 和 (2,2)。
步骤 2：计算第一部分面积
取x为积分变量，x的变化范围为 $[ -2,2] $，相应于 $[ -2,2] $ 上的任一小区间 $[ x,x+dx] $ 的窄条面积近似于高为 $\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$、底为dx的窄矩形的面积，因此有 ${A}_{1}={\int }_{-2}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx=2{\int }_{0}^{2}(\sqrt {8-{x}^{2}}-\dfrac {1}{2}{x}^{2})dx$。计算这个积分，得到 ${A}_{1}=2{[ \dfrac {x}{2}\sqrt {8-{x}^{2}}+4\arcsin \dfrac {x}{2\sqrt {2}}-\dfrac {1}{6}{x}^{3}{] }_{0}=2\pi +\dfrac {4}{3}$。
步骤 3：计算第二部分面积
图形D2的面积为 ${A}_{2}=\pi {(2\sqrt {2})}^{2}-(2\pi +\dfrac {4}{3})=6\pi -\dfrac {4}{3}$。
步骤 4：计算第二题的面积
取x为积分变量，x的变化范围为[1,2]，相应于[1,2]上的任一小区间 $[ x,x+dx] $ 的窄条面积近似于高为 $x-\dfrac {1}{x}$、底为dx的窄矩形的面积，因此有 $A={\int }_{1}^{2}(x-\dfrac {1}{x})dx={[ \dfrac {1}{2}{x}^{2}-\ln x] }^{2}=\dfrac {3}{2}-\ln 2$。
步骤 5：计算第三题的面积
取x为积分变量，x的变化范围为[0,1]，相应于[0,1]上的任一小区间 $[ x,x+dx] $ 的窄条面积近似于高为 ${e}^{x}-{e}^{-x}$、底为dx的窄矩形的面积，因此有 $A={\int }_{0}^{1}({e}^{x}-{e}^{-x})dx=e+\dfrac {1}{e}-2$。
步骤 6：计算第四题的面积
取y为积分变量，y的变化范围为[lna,lnb]，相应于[lna,lnb]上的任一小区间 $[ y,y+dy] $ 的窄条面积近似于高为dy、底为e^y的窄矩形的面积，因此有 $A={\int }_{\ln a}^{\ln b}e^{y}dy=[e^{y}]_{\ln a}^{\ln b}=b-a$。