题目
设函数 u = xy - 2z ，则 u 在点 (1, 2, -2)的最大的方向导数是 ()。A. 3B. 1C. 2D. 4
设函数 $u = xy - 2z $，则 $u $在点 (1, 2, -2)的最大的方向导数是 ()。
A. 3
B. 1
C. 2
D. 4
题目解答
答案
A. 3
解析
步骤 1：计算梯度
首先，我们需要计算函数 $u = xy - 2z$ 在点 (1, 2, -2) 的梯度。梯度是一个向量，其分量是函数在该点处对每个变量的偏导数。对于函数 $u = xy - 2z$，梯度 $\nabla u$ 为：
$$
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)
$$
计算每个偏导数：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = -2
$$
因此，梯度为：
$$
\nabla u = (y, x, -2)
$$
步骤 2：计算梯度在点 (1, 2, -2) 的值
将点 (1, 2, -2) 的坐标代入梯度表达式中，得到：
$$
\nabla u(1, 2, -2) = (2, 1, -2)
$$
步骤 3：计算梯度的模
梯度的模表示函数在该点处的最大方向导数。计算梯度的模：
$$
|\nabla u(1, 2, -2)| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$
首先，我们需要计算函数 $u = xy - 2z$ 在点 (1, 2, -2) 的梯度。梯度是一个向量，其分量是函数在该点处对每个变量的偏导数。对于函数 $u = xy - 2z$，梯度 $\nabla u$ 为：
$$
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)
$$
计算每个偏导数：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = -2
$$
因此，梯度为：
$$
\nabla u = (y, x, -2)
$$
步骤 2：计算梯度在点 (1, 2, -2) 的值
将点 (1, 2, -2) 的坐标代入梯度表达式中，得到：
$$
\nabla u(1, 2, -2) = (2, 1, -2)
$$
步骤 3：计算梯度的模
梯度的模表示函数在该点处的最大方向导数。计算梯度的模：
$$
|\nabla u(1, 2, -2)| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$