题目
设A为m times n维矩阵,且m times n Ax=0只有零解,则下列结论正确的是() A. m=nB. A的只等于nC. mD. m>n
$$ 设A为m \times n维矩阵,且m \times n Ax=0只有零解,则下列结论正确的是() $$
A. m=n
B. A的只等于n
C. m< n
D. m>n
题目解答
答案
D. m>n
解析
步骤 1：理解矩阵方程的解
矩阵方程 \(Ax = 0\) 只有零解意味着方程组的解空间只包含零向量。这表明矩阵 \(A\) 的列向量是线性无关的。
步骤 2：分析矩阵的秩
矩阵 \(A\) 的秩等于矩阵的列向量组的秩，即矩阵 \(A\) 的列向量组的极大线性无关组的向量个数。由于 \(Ax = 0\) 只有零解，矩阵 \(A\) 的列向量组是线性无关的，因此矩阵 \(A\) 的秩等于 \(n\)。
步骤 3：分析矩阵的行数和列数
矩阵 \(A\) 的秩等于 \(n\)，即矩阵 \(A\) 的列向量组的秩等于 \(n\)。由于矩阵 \(A\) 的秩不能超过其行数 \(m\)，因此 \(m \geq n\)。但是，由于矩阵 \(A\) 的列向量组是线性无关的，矩阵 \(A\) 的秩等于 \(n\)，因此 \(m\) 必须大于或等于 \(n\)。由于题目中没有给出 \(m = n\) 的情况，因此 \(m > n\)。
矩阵方程 \(Ax = 0\) 只有零解意味着方程组的解空间只包含零向量。这表明矩阵 \(A\) 的列向量是线性无关的。
步骤 2：分析矩阵的秩
矩阵 \(A\) 的秩等于矩阵的列向量组的秩，即矩阵 \(A\) 的列向量组的极大线性无关组的向量个数。由于 \(Ax = 0\) 只有零解，矩阵 \(A\) 的列向量组是线性无关的，因此矩阵 \(A\) 的秩等于 \(n\)。
步骤 3：分析矩阵的行数和列数
矩阵 \(A\) 的秩等于 \(n\)，即矩阵 \(A\) 的列向量组的秩等于 \(n\)。由于矩阵 \(A\) 的秩不能超过其行数 \(m\)，因此 \(m \geq n\)。但是，由于矩阵 \(A\) 的列向量组是线性无关的，矩阵 \(A\) 的秩等于 \(n\)，因此 \(m\) 必须大于或等于 \(n\)。由于题目中没有给出 \(m = n\) 的情况，因此 \(m > n\)。