题目
证明下列不等式:-|||-(4)当 lt xlt dfrac (pi )(2) 时, tan xgt x+dfrac (1)(3)(x)^3 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)=\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}$ , 其中 $x\in [ 0,\dfrac {\pi }{2}] $ 。
步骤 2：求导
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$, 得到 $f'(x)=\sec {x}^{2}x-1-{x}^{2}={\tan }^{2}x-{x}^{2}$。
步骤 3：分析导数
分析 $f'(x)$ 的导数，得到 $f'(x)=(\tan x-x)'\tan (x+x)$。由 $g'(x)=(\tan x-x)'={\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x\gt 0$ 知 $g(x)=\tan x-x$ 在[0,x]上单调增加, 即 $g(x)=\tan x-x\gt g(0)=0$。
步骤 4：判断单调性
由 $g(x)=\tan x-x\gt g(0)=0$ 可知 $f'(x)\gt 0$ , $x\in (0,\dfrac {\pi }{2})$。从而 $f(x)$ 在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2}] $ 上单调增加。
步骤 5：得出结论
因此 $f(x)\gt f(0)$ , $x\in (0,\dfrac {\pi }{2})$。即当 $0\lt x\lt \dfrac {\pi }{2}$ 时, $\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}\gt 0$。从而 $\tan x\gt x+\dfrac {1}{3}{x}^{3}(0\lt x\lt \dfrac {\pi }{2})$。
定义函数 $f(x)=\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}$ , 其中 $x\in [ 0,\dfrac {\pi }{2}] $ 。
步骤 2：求导
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$, 得到 $f'(x)=\sec {x}^{2}x-1-{x}^{2}={\tan }^{2}x-{x}^{2}$。
步骤 3：分析导数
分析 $f'(x)$ 的导数，得到 $f'(x)=(\tan x-x)'\tan (x+x)$。由 $g'(x)=(\tan x-x)'={\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x\gt 0$ 知 $g(x)=\tan x-x$ 在[0,x]上单调增加, 即 $g(x)=\tan x-x\gt g(0)=0$。
步骤 4：判断单调性
由 $g(x)=\tan x-x\gt g(0)=0$ 可知 $f'(x)\gt 0$ , $x\in (0,\dfrac {\pi }{2})$。从而 $f(x)$ 在 $[ 0,\dfrac {\pi }{2}] $ 上单调增加。
步骤 5：得出结论
因此 $f(x)\gt f(0)$ , $x\in (0,\dfrac {\pi }{2})$。即当 $0\lt x\lt \dfrac {\pi }{2}$ 时, $\tan x-x-\dfrac {1}{3}{x}^{3}\gt 0$。从而 $\tan x\gt x+\dfrac {1}{3}{x}^{3}(0\lt x\lt \dfrac {\pi }{2})$。