题目
4 (2). 把对坐标的曲面积分 iintlimits_(Sigma)^}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy 化成对面 积的曲面积分，其中：sum 是抛物面 z=8-(x^{2+y^2) 在 xOy 面上方的部分的上侧.
4 (2). 把对坐标的曲面积分 $\iint\limits_{\Sigma}^{}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$ 化成对面 积的曲面积分，其中：$\sum$ 是抛物面 $z=8-(x^{2}+y^{2})$ 在 $xOy$ 面上方的部分的上侧.
题目解答
答案
曲面 $\Sigma: z = 8 - (x^2 + y^2)$ 的上侧单位法向量为：
\[
\mathbf{n_0} = \frac{(2x, 2y, 1)}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}
\]
其中，$\cos \alpha = \frac{2x}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$，$\cos \beta = \frac{2y}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$，$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$。
将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分：
\[
\iint_{\Sigma} P \, dydz + Q \, dzdx + R \, dxdy = \iint_{\Sigma} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \, dS
\]
代入得：
\[
\boxed{\iint_{\Sigma} \frac{2xP + 2yQ + R}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}} \, dS}
\]
解析
步骤 1：确定曲面的单位法向量
抛物面 $z = 8 - (x^2 + y^2)$ 的法向量可以通过计算梯度得到。梯度为 $\nabla z = (-2x, -2y, 1)$。单位法向量为 $\mathbf{n_0} = \frac{(-2x, -2y, 1)}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$。由于题目要求上侧，我们取正方向，即 $\mathbf{n_0} = \frac{(2x, 2y, 1)}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$。
步骤 2：确定法向量的余弦值
根据单位法向量，可以得到 $\cos \alpha = \frac{2x}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$，$\cos \beta = \frac{2y}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$，$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$。
步骤 3：将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分
根据对坐标的曲面积分的定义，可以将积分转换为对面积的曲面积分：$\iint_{\Sigma} P \, dydz + Q \, dzdx + R \, dxdy = \iint_{\Sigma} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \, dS$。代入法向量的余弦值，得到最终的积分形式。
抛物面 $z = 8 - (x^2 + y^2)$ 的法向量可以通过计算梯度得到。梯度为 $\nabla z = (-2x, -2y, 1)$。单位法向量为 $\mathbf{n_0} = \frac{(-2x, -2y, 1)}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$。由于题目要求上侧，我们取正方向，即 $\mathbf{n_0} = \frac{(2x, 2y, 1)}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$。
步骤 2：确定法向量的余弦值
根据单位法向量，可以得到 $\cos \alpha = \frac{2x}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$，$\cos \beta = \frac{2y}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$，$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}$。
步骤 3：将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分
根据对坐标的曲面积分的定义，可以将积分转换为对面积的曲面积分：$\iint_{\Sigma} P \, dydz + Q \, dzdx + R \, dxdy = \iint_{\Sigma} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \, dS$。代入法向量的余弦值，得到最终的积分形式。