1.设lim_(xto0)(1-e^kx)/(x)=2，则k= 【 】A. -2B. -1C. 1D. 2

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用洛必达法则或泰勒展开处理形如$\frac{0}{0}$型不定式的极限问题。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，分子$1 - e^{kx}$和分母$x$均趋近于$0$，形成$\frac{0}{0}$型不定式。此时可通过求导（洛必达法则）或泰勒展开将原式化简，进而求出参数$k$的值。

破题关键点：

1. 识别极限形式为$\frac{0}{0}$型，确定适用洛必达法则或泰勒展开。
2. 正确计算导数或展开式，忽略高阶无穷小，得到关于$k$的方程。
3. 解方程得出$k$的值。

方法一：洛必达法则

1. 验证条件：当$x \to 0$时，分子$1 - e^{kx} \to 0$，分母$x \to 0$，满足$\frac{0}{0}$型不定式。
2. 应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{kx}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1 - e^{kx})}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-k e^{kx}}{1}$
3. 代入$x=0$：
   $-k e^{0} = -k \cdot 1 = -k$
4. 根据题意列方程：
   $-k = 2 \quad \Rightarrow \quad k = -2$

方法二：泰勒展开

1. 展开$e^{kx}$：
   $e^{kx} = 1 + kx + \frac{(kx)^2}{2!} + \cdots$
2. 化简分子：
   $1 - e^{kx} = -kx - \frac{(kx)^2}{2!} - \cdots$
3. 忽略高阶无穷小：当$x \to 0$时，高阶项可忽略，得：
   $\frac{1 - e^{kx}}{x} \approx \frac{-kx}{x} = -k$
4. 根据题意列方程：
   $-k = 2 \quad \Rightarrow \quad k = -2$