题目

17.填空题【填空题】S(300)=____.

17.填空题 【填空题】S(300)=____.

题目解答

答案

为了求解 $ S(300) $，我们首先需要理解 $ S(n) $ 的定义。根据题目， $ S(n) $ 表示 $ n $ 的所有正约数的和。因此， $ S(300) $ 就是 300 的所有正约数的和。 首先，我们对 300 进行质因数分解。我们有： \[ 300 = 150 \times 2 = 75 \times 4 = 25 \times 12 = 5^2 \times 12 = 5^2 \times 4 \times 3 = 5^2 \times 2^2 \times 3 \] 所以，300 的质因数分解为 $ 300 = 2^2 \times 3 \times 5^2 $。 对于一个数 $ n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k} $，其所有正约数的和 $ S(n) $ 可以用公式： \[ S(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{e_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \cdots + p_2^{e_2}) \cdots (1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{e_k}) \] 来计算。将 $ 300 = 2^2 \times 3 \times 5^2 $ 代入公式，我们得到： \[ S(300) = (1 + 2 + 2^2)(1 + 3)(1 + 5 + 5^2) \] 分别计算每一项： \[ 1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7 \] \[ 1 + 3 = 4 \] \[ 1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31 \] 将这些结果相乘，我们得到： \[ S(300) = 7 \times 4 \times 31 \] 先计算 $ 7 \times 4 $： \[ 7 \times 4 = 28 \] 再计算 $ 28 \times 31 $： \[ 28 \times 31 = 28 \times (30 + 1) = 28 \times 30 + 28 \times 1 = 840 + 28 = 868 \] 因此， $ S(300) $ 的值为： \[ \boxed{868} \]

解析

考查要点：本题主要考查正整数的质因数分解以及正约数之和公式的应用。

解题核心思路：

  1. 质因数分解：将300分解为质因数的乘积形式，即$300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$。
  2. 应用公式：利用正约数之和公式，对每个质因数的指数进行展开求和，再将各部分结果相乘。

破题关键点：

  • 正确分解质因数是基础，需确保分解后的结果准确。
  • 公式应用时注意指数范围，每个质因数的幂次从0到最高指数依次相加。

步骤1：质因数分解
将300分解为质因数的乘积形式：
$300 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2$

步骤2：应用正约数之和公式
公式为：
$S(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{e_1}) \times \cdots \times (1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{e_k})$
代入$300 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2$：
$S(300) = (1 + 2 + 2^2) \times (1 + 3) \times (1 + 5 + 5^2)$

步骤3：逐项计算

  1. 计算$2^2$部分：
    $1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$
  2. 计算$3^1$部分：
    $1 + 3 = 4$
  3. 计算$5^2$部分：
    $1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31$

步骤4：相乘求结果
将各部分结果相乘：
$7 \times 4 \times 31 = 28 \times 31 = 868$