5.解下列矩阵方程:5.解下列矩阵方程:5.解下列矩阵方程:

矩阵方程的解法核心思路：

1. 方程形式分析：根据方程形式（如$AX=B$或$XA=B$），确定解的形式（如$X=A^{-1}B$或$X=BA^{-1}$）。
2. 矩阵可逆性：验证系数矩阵是否可逆（行列式非零），若可逆则直接求逆矩阵；若不可逆，需用其他方法（如增广矩阵初等变换）。
3. 初等变换应用：对于复杂方程，可通过增广矩阵进行行/列初等变换求解。

关键知识点：

• 矩阵乘法顺序：注意乘法顺序对结果的影响（如$A^{-1}B$与$BA^{-1}$不同）。
• 初等矩阵性质：初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，左乘对应行变换，右乘对应列变换。

第（1）题

方程：$AX=B$，其中$A$为$3 \times 3$矩阵，$B$为$3 \times 2$矩阵。

1. 验证$A$可逆：计算$A$的行列式，若非零则可逆。
2. 求逆矩阵：通过初等行变换求$A^{-1}$。
3. 计算$X$：$X = A^{-1}B$。

答案：
$X = \begin{pmatrix} 10 & 2 \\ -15 & -3 \\ 12 & 4 \end{pmatrix}$

第（2）题

方程：$XA=B$，其中$A$为$3 \times 3$矩阵，$B$为$2 \times 3$矩阵。

1. 验证$A$可逆：计算$A$的行列式，若非零则可逆。
2. 求逆矩阵：通过初等行变换求$A^{-1}$。
3. 计算$X$：$X = BA^{-1}$。

答案：
$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -4 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

第（3）题

方程：$AX = 2X + A$，变形为$(A - 2I)X = A$。

1. 构造矩阵$A - 2I$：验证其可逆性。
2. 求逆矩阵：通过初等行变换求$(A - 2I)^{-1}$。
3. 计算$X$：$X = (A - 2I)^{-1}A$。

答案：
$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

第（4）题

方程：$PXQ = C$，其中$P$和$Q$为初等矩阵。

1. 求逆矩阵：$P^{-1} = P$（交换行的初等矩阵），$Q^{-1}$为对应逆变换矩阵。
2. 解方程：$X = P^{-1}CQ^{-1}$。

答案：
$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -7 & -4 & 3 \\ -4 & -2 & 1 \end{pmatrix}$