已知(x)=lim _(narrow infty )sqrt [n](2+{(2x))^n+(x)^2n}(xgeqslant 0) (x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n+1}(1+{x)^2n} 则(x)=lim _(narrow infty )sqrt [n](2+{(2x))^n+(x)^2n}(xgeqslant 0) (x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n+1}(1+{x)^2n}_________.

步骤 1：求解$f(x)$
$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{2+{(2x)}^{n}+{x}^{2n}}$，当$x\geqslant 0$时，随着$n$的增大，$2x^n$和$x^{2n}$的项会主导极限值。因此，$f(x)$的值取决于$2x^n$和$x^{2n}$中较大的一项。
- 当$0\leqslant x\lt \dfrac {1}{2}$时，$2x^n$和$x^{2n}$都趋于0，因此$f(x)=1$。
- 当$\dfrac {1}{2}\leqslant x\lt 2$时，$2x^n$主导，因此$f(x)=2x$。
- 当$x\geqslant 2$时，$x^{2n}$主导，因此$f(x)=x^2$。
步骤 2：求解$g(x)$
$g(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n+1}}{1+{x}^{2n}}$，根据$x$的取值范围，$x^{2n}$和$x^{2n+1}$的极限值会有所不同。
- 当$-1\lt x\lt 1$时，$x^{2n}$和$x^{2n+1}$都趋于0，因此$g(x)=1$。
- 当$x\lt -1$或$x\gt 1$时，$x^{2n}$趋于无穷大，$x^{2n+1}$也趋于无穷大，因此$g(x)=-x$。
- 当$x=1$时，$g(x)=\dfrac {1-1}{1+1}=0$。
- 当$x=-1$时，$g(x)=\dfrac {1-(-1)}{1+1}=1$。
步骤 3：求解$f(g(x))$
根据$f(x)$和$g(x)$的定义，$f(g(x))$的值取决于$g(x)$的值。
- 当$-1\leqslant x\lt 1$时，$g(x)=1$，因此$f(g(x))=f(1)=1$。
- 当$x\lt -1$时，$g(x)=-x$，因此$f(g(x))=f(-x)=2(-x)=-2x$。
- 当$x\gt 1$时，$g(x)=-x$，因此$f(g(x))=f(-x)=2(-x)=-2x$。
- 当$x=1$时，$g(x)=0$，因此$f(g(x))=f(0)=1$。