题目
L 为正向圆周 x^2 + y^2 = 2，则 int_(L) x , dy - 2y , dx = ( )A. 6piB. 3piC. 2piD. pi
$L$ 为正向圆周 $x^2 + y^2 = 2$，则 $\int_{L} x \, dy - 2y \, dx = (\quad)$
A. $6\pi$
B. $3\pi$
C. $2\pi$
D. $\pi$
题目解答
答案
A. $6\pi$
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式是用于计算平面区域上第二型曲线积分的公式，其形式为 \[ \oint_{L} P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA, \] 其中 $L$ 是区域 $D$ 的边界，$P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 是在 $D$ 上具有连续偏导数的函数。
步骤 2：确定 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$
根据题目，我们有 $P(x, y) = -2y$ 和 $Q(x, y) = x$。因此，我们需要计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$。
步骤 3：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，我们得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2. \] 因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-2) = 3$。
步骤 4：计算区域 $D$ 的面积
区域 $D$ 是圆 $x^2 + y^2 = 2$，其半径为 $\sqrt{2}$，因此面积为 $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$。
步骤 5：应用格林公式计算积分
根据格林公式，我们有 \[ \int_{L} x \, dy - 2y \, dx = \iint_{D} 3 \, dA = 3 \times 2\pi = 6\pi. \]
格林公式是用于计算平面区域上第二型曲线积分的公式，其形式为 \[ \oint_{L} P(x, y) \, dx + Q(x, y) \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA, \] 其中 $L$ 是区域 $D$ 的边界，$P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 是在 $D$ 上具有连续偏导数的函数。
步骤 2：确定 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$
根据题目，我们有 $P(x, y) = -2y$ 和 $Q(x, y) = x$。因此，我们需要计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$。
步骤 3：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，我们得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2. \] 因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-2) = 3$。
步骤 4：计算区域 $D$ 的面积
区域 $D$ 是圆 $x^2 + y^2 = 2$，其半径为 $\sqrt{2}$，因此面积为 $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$。
步骤 5：应用格林公式计算积分
根据格林公式，我们有 \[ \int_{L} x \, dy - 2y \, dx = \iint_{D} 3 \, dA = 3 \times 2\pi = 6\pi. \]