题目
一批产品共20件,其中有5件是次品,其余为正品.现从这20件产品中不放回地任意抽取三次,每次只取一件,求下列事件的概率： (1)在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品; (2)第三次才取到次品; (3)第三次取到次品.
一批产品共20件,其中有5件是次品,其余为正品.现从这20件产品中不放回地任意抽取三次,每次只取一件,求下列事件的概率：
(1)在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品;
(2)第三次才取到次品;
(3)第三次取到次品.
(1)在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品;
(2)第三次才取到次品;
(3)第三次取到次品.
题目解答
答案
（1）“在第一第二次取到正品的条件下”说明前2次已经帮你取好了，你只要在剩下的18个(13个正品5个次品)里取次品即可，P=
；
（2）第三次才取得次品，即3次都由你去取，而且前2次你取到的都是正品，唯独第3次才取到次品，即
；
（3）第三次取得正品,说明前两次取的是什么都没关系
有三种情况
1正,2正,3次,：
1正,2次,3次,：
1次,2正,3次 ：
第三次取到次品的概率为：
答：在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品的概率为：；
第三次才取到次品的概率为：
第三次取到次品的概率为：
.
解析
步骤 1：计算在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品的概率
在第一、第二次取到正品的条件下，说明前两次已经取出了两件正品，剩下18件产品中有5件次品和13件正品。因此，第三次取到次品的概率为：
$$
P(\text{第三次取到次品}) = \frac{\text{剩余次品数}}{\text{剩余产品总数}} = \frac{5}{18}
$$
步骤 2：计算第三次才取到次品的概率
第三次才取到次品，意味着前两次取到的都是正品，第三次取到次品。因此，概率为：
$$
P(\text{第三次才取到次品}) = \frac{\text{第一次取到正品的概率} \times \text{第二次取到正品的概率} \times \text{第三次取到次品的概率}}{1} = \frac{15}{20} \times \frac{14}{19} \times \frac{5}{18}
$$
步骤 3：计算第三次取到次品的概率
第三次取到次品，意味着前两次取到的可以是正品也可以是次品，但第三次必须取到次品。因此，概率为：
$$
P(\text{第三次取到次品}) = P(\text{第一次取到正品，第二次取到正品，第三次取到次品}) + P(\text{第一次取到正品，第二次取到次品，第三次取到次品}) + P(\text{第一次取到次品，第二次取到正品，第三次取到次品})
$$
$$
= \frac{15}{20} \times \frac{14}{19} \times \frac{5}{18} + \frac{15}{20} \times \frac{5}{19} \times \frac{4}{18} + \frac{5}{20} \times \frac{15}{19} \times \frac{4}{18}
$$
在第一、第二次取到正品的条件下，说明前两次已经取出了两件正品，剩下18件产品中有5件次品和13件正品。因此，第三次取到次品的概率为：
$$
P(\text{第三次取到次品}) = \frac{\text{剩余次品数}}{\text{剩余产品总数}} = \frac{5}{18}
$$
步骤 2：计算第三次才取到次品的概率
第三次才取到次品，意味着前两次取到的都是正品，第三次取到次品。因此，概率为：
$$
P(\text{第三次才取到次品}) = \frac{\text{第一次取到正品的概率} \times \text{第二次取到正品的概率} \times \text{第三次取到次品的概率}}{1} = \frac{15}{20} \times \frac{14}{19} \times \frac{5}{18}
$$
步骤 3：计算第三次取到次品的概率
第三次取到次品，意味着前两次取到的可以是正品也可以是次品，但第三次必须取到次品。因此，概率为：
$$
P(\text{第三次取到次品}) = P(\text{第一次取到正品，第二次取到正品，第三次取到次品}) + P(\text{第一次取到正品，第二次取到次品，第三次取到次品}) + P(\text{第一次取到次品，第二次取到正品，第三次取到次品})
$$
$$
= \frac{15}{20} \times \frac{14}{19} \times \frac{5}{18} + \frac{15}{20} \times \frac{5}{19} \times \frac{4}{18} + \frac{5}{20} \times \frac{15}{19} \times \frac{4}{18}
$$