题目

设有向量组A:-|||--1,-|||- (x)_(1)=(} 1 1 2 . ,-|||--1-|||-(1)求该向量组的秩:-|||-(2)求该向量组的一个最大无关组,-|||-并将其余的向量用最大无关组线性表示。

$\begin{aligned} &设有向量组A：\\&\alpha_1=\left(\begin{array}\\1,\\1\\2\end{array}\right),\alpha_2=\left(\begin{array}\\-1,\\-2\\0\end{array}\right),\\&\alpha_3=\left(\begin{array}\\1,\\5\\-1\end{array}\right),\alpha_4=\left(\begin{array}\\-1,\\-7\\5)\end{array}\right),\\&(1)求该向量组的秩：\\&(2)求该向量组的一个最大无关组，\\&并将其余的向量用最大无关组线性表示。\\\end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &(1)求向量组的秩\\&为了求向量组的秩，我们可以\\&将这些向量作为列向量组成一\\&个矩阵，然后通过行变换将其化\\&为行最简形式 (阶梯形矩阵),非零行\\&的数量即为向量组的秩。\\&矩阵M为：\\&M=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\1&-2&5&-7\\2&0&-1&5\end{pmatrix}\\&进行行变换：\\&R2=R2-R1\\&R3=R3-2R1\\&得到：\\&M'=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\0&-1&4&-6\\0&2&-3&7\end{pmatrix}\\&继续行变换：\\&R3=R3+2R2\\&得到：\\&M''=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\0&-1&4&-6\\0&0&5&-5\end{pmatrix}\\&这个矩阵已经是行最简形式，\\&我们可以看到有3个非零行，\\&所以向量组的秩是3。\\ &(2) 求最大无关组并线性表示其余向量\\&从行最简形式中，我们可以看\\&到第一、第二、第三列是主元列，\\&因此\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3构成\\&一个最大无关组。接下来，我们用\\&\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3来表示\alpha_4:\\&从M^{\prime\prime}中，我们可以看到：\\&\alpha_4=-1\cdot\alpha_1+6\cdot\alpha_2-1\cdot\alpha_3\\\end{aligned}$

解析

步骤 1：构造矩阵
将向量组A中的向量作为列向量组成一个矩阵M。
步骤 2：行变换化简矩阵
通过行变换将矩阵M化简为行最简形式，以确定向量组的秩。
步骤 3：确定最大无关组
从行最简形式中确定主元列，这些列对应的向量构成最大无关组。
步骤 4：线性表示其余向量
利用最大无关组表示其余向量。