题目
设 A B 均为 n 阶矩阵，已知 A 等价于 B， 则下列说法错误的是 （）A |A|=0Leftrightarrow |B|=0B A可逆|A|=0Leftrightarrow |B|=0 B可逆 C 存在可逆 矩阵|A|=0Leftrightarrow |B|=0，使得|A|=0Leftrightarrow |B|=0D 存在可逆 矩阵|A|=0Leftrightarrow |B|=0， 使 |A|=0Leftrightarrow |B|=0
设 A B 均为 n 阶矩阵，已知 A 等价于 B， 则下列说法错误的是 （）
A 
B A可逆
B可逆
C 存在可逆 矩阵
，使得
D 存在可逆 矩阵
， 使 
题目解答
答案
A 根据等价矩阵的性质，A正确。
B 根据等价矩阵的性质，B正确。
C A,B等价，经过行变换，列变换可化为B，即，C错误。
D 与C同理，D正确。
故答案选为C
解析
步骤 1：理解矩阵等价的定义
矩阵 A 和 B 等价，意味着存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。这表明 A 和 B 可以通过行和列的初等变换相互转换。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示如果 A 的行列式为 0，则 B 的行列式也为 0，反之亦然。由于 A 和 B 等价，它们的秩相同，因此它们的行列式要么同时为 0，要么同时不为 0。所以选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示如果 A 可逆，则 B 也必须可逆。由于 A 和 B 等价，它们的秩相同，因此如果 A 可逆（即秩为 n），则 B 也必须可逆。所以选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 表示存在可逆矩阵 P，使得 PA = B。然而，矩阵等价的定义是存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。因此，选项 C 错误。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 表示存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。这正是矩阵等价的定义，因此选项 D 正确。
矩阵 A 和 B 等价，意味着存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。这表明 A 和 B 可以通过行和列的初等变换相互转换。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示如果 A 的行列式为 0，则 B 的行列式也为 0，反之亦然。由于 A 和 B 等价，它们的秩相同，因此它们的行列式要么同时为 0，要么同时不为 0。所以选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示如果 A 可逆，则 B 也必须可逆。由于 A 和 B 等价，它们的秩相同，因此如果 A 可逆（即秩为 n），则 B 也必须可逆。所以选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 表示存在可逆矩阵 P，使得 PA = B。然而，矩阵等价的定义是存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。因此，选项 C 错误。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 表示存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。这正是矩阵等价的定义，因此选项 D 正确。