若 f(x)= { ,|x|gt c . 在定义域上连续,试求常数c。

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性条件，以及解三次方程的能力。

解题核心思路：
函数在分段点处连续的充要条件是左右极限相等且等于函数值。由于题目中的分段点为$x = c$和$x = -c$，但函数关于$y$轴对称，因此只需验证$x = c$处的连续性，即可得到方程求解$c$。

破题关键点：

1. 确定分段点：分段点为$x = \pm c$，但对称性简化为仅需考虑$x = c$。
2. 列连续性方程：在$x = c$处，左极限（$x^2 + 1$）与右极限（$\frac{10}{|x|}$）相等，即$c^2 + 1 = \frac{10}{c}$。
3. 解三次方程：将方程转化为$c^3 + c - 10 = 0$，通过试根法找到正实根$c = 2$。

步骤1：分析分段点处的连续性
函数$f(x)$在$x = c$处连续，需满足：
$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$

步骤2：计算左右极限

• 左极限（$x \to c^-$）：当$x$从左侧趋近$c$时，$|x| \leq c$，故$f(x) = x^2 + 1$，得：
  $\lim_{x \to c^-} f(x) = c^2 + 1$
• 右极限（$x \to c^+$）：当$x$从右侧趋近$c$时，$|x| > c$，故$f(x) = \frac{10}{|x|}$，得：
  $\lim_{x \to c^+} f(x) = \frac{10}{c}$
• 函数值$f(c)$：当$x = c$时，$|x| = c$，故$f(c) = c^2 + 1$。

步骤3：列连续性方程
根据连续性条件，左极限等于右极限：
$c^2 + 1 = \frac{10}{c}$

步骤4：解三次方程
将方程整理为：
$c^3 + c - 10 = 0$
通过试根法，代入$c = 2$：
$2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$
因此，$c = 2$是方程的解。进一步验证$c > 0$且唯一，故$c = 2$。