[题目]求曲面 ^x-z+xy=3 在点(2,1,0)处的切平面-|||-及法线方程.

考查要点：本题主要考查曲面在某一点处的切平面方程及法线方程的求解方法，需要掌握梯度向量的计算及其几何意义。

解题核心思路：

1. 将曲面方程整理为标准形式 $F(x,y,z)=0$；
2. 计算梯度向量 $\nabla F$，其在给定点处的值即为切平面的法向量；
3. 利用点法式方程写出切平面方程；
4. 根据法向量直接写出法线方程的参数形式。

破题关键点：

• 正确计算偏导数，注意符号和变量替换；
• 代入点坐标时需准确计算各偏导数值；
• 方程整理时注意代数运算的准确性。

1. 整理曲面方程

将原方程 $e^x - z + xy = 3$ 改写为标准形式：
$F(x,y,z) = e^x + xy - z - 3 = 0$

2. 计算梯度向量

分别对 $x, y, z$ 求偏导：

• 对 $x$ 求偏导：
  $F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = e^x + y$
• 对 $y$ 求偏导：
  $F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = x$
• 对 $z$ 求偏导：
  $F_z = \frac{\partial F}{\partial z} = -1$

3. 代入点 (2,1,0)

计算各偏导数值：

• $F_x(2,1,0) = e^2 + 1$
• $F_y(2,1,0) = 2$
• $F_z(2,1,0) = -1$

因此，法向量为：
$\boldsymbol{n} = (e^2 + 1, \, 2, \, -1)$

4. 切平面方程

利用点法式方程：
$(e^2 + 1)(x - 2) + 2(y - 1) - 1 \cdot z = 0$
展开整理得：
$(e^2 + 1)x + 2y - z = 2(e^2 + 2)$

5. 法线方程

根据法向量方向，参数方程为：
$\frac{x - 2}{e^2 + 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{-1}$