7.(2016)设二维随机变量(X,Y)在区域 = (x,y)|0lt xlt 1,{x)^2lt ylt sqrt (x)} 上服-|||-从均匀分布,令 U= ) 1,xleqslant y 0,xgt y . (1)写出(X,Y)的概率密度函数.(2)问:U与X是否-|||-相互独立?并说明理由.(3)求 =U+X 的分布函数F(z ).

考查要点：

1. 二维均匀分布的概率密度函数：根据区域面积计算密度函数。
2. 随机变量独立性的判断：通过联合概率与边缘概率的乘积是否相等来验证。
3. 复合随机变量的分布函数：分情况讨论随机变量的取值范围，结合积分计算概率。

解题核心思路：

1. 概率密度函数：均匀分布的密度函数为区域面积的倒数，需计算区域$D$的面积。
2. 独立性判断：选取特定事件，计算联合概率与边缘概率的乘积，若不等则不独立。
3. 分布函数：将$Z=U+X$分解为$U=0$和$U=1$两种情况，分段积分求概率。

(1) 概率密度函数

区域$D$的面积为：
$S(D) = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}.$
因此，概率密度函数为：
$f(x,y) = \begin{cases} 3, & 0 < x < 1, \, x^2 < y < \sqrt{x}, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

(2) 独立性判断

关键步骤：

1. 计算$P(U \leqslant \frac{1}{2}, X \leqslant \frac{1}{2})$：
   $P(X > Y, X \leqslant \frac{1}{2}) = 3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - x^2) \, dx = \frac{1}{4}.$
2. 计算$P(U \leqslant \frac{1}{2})$和$P(X \leqslant \frac{1}{2})$：
   $P(U \leqslant \frac{1}{2}) = P(X > Y) = \frac{1}{2}, \quad P(X \leqslant \frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{8}.$
3. 比较联合概率与边缘概率乘积：
   $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{8} \right),$
   故$U$与$X$不独立。

(3) 分布函数$F(z)$

分段讨论：

1. 当$z < 0$时：
   $F(z) = 0.$
2. 当$0 \leqslant z < 1$时：
   $P(X \leqslant z, X > Y) = 3 \int_{0}^{z} \int_{x^2}^{x} dy \, dx = \frac{3}{2}z^2 - z^3.$
3. 当$1 \leqslant z < 2$时：
   $\begin{aligned}P(X \leqslant z, X > Y) &= \frac{1}{2}, \\P(1+X \leqslant z, X \leqslant Y) &= 3 \int_{0}^{z-1} (\sqrt{x} - x) \, dx = 2(z-1)^{3/2} - \frac{3}{2}(z-1)^2.\end{aligned}$
   总概率为：
   $F(z) = \frac{1}{2} + 2(z-1)^{3/2} - \frac{3}{2}(z-1)^2.$
4. 当$z \geqslant 2$时：
   $F(z) = 1.$