题目
Exp(2)，Ysim B(1,0.2)，且它们的相关系数rho(X,Y)=0.6，则E(2X-Y+1)^2=____
Exp(2)，$Y\sim B(1,0.2)$，且它们的相关系数$\rho(X,Y)=0.6$，则$E(2X-Y+1)^{2}=$____
题目解答
答案
为了求解 $ E[(2X - Y + 1)^2] $，我们需要使用期望的性质和给定的随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 的信息。让我们一步步来分析。
1. **确定 $ X $ 和 $ Y $ 的期望和方差：**
- 由于 $ X \sim \text{Exp}(2) $，期望 $ E(X) $ 和方差 $ \text{Var}(X) $ 分别为：
\[
E(X) = \frac{1}{2}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{4}
\]
- 由于 $ Y \sim B(1, 0.2) $，期望 $ E(Y) $ 和方差 $ \text{Var}(Y) $ 分别为：
\[
E(Y) = 0.2, \quad \text{Var}(Y) = 0.2 \times 0.8 = 0.16
\]
2. **使用 $ X $ 和 $ Y $ 的协方差：**
- $ X $ 和 $ Y $ 的相关系数 $ \rho(X, Y) $ 给定为 0.6。协方差 $ \text{Cov}(X, Y) $ 可以表示为：
\[
\text{Cov}(X, Y) = \rho(X, Y) \sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)} = 0.6 \times \sqrt{\frac{1}{4} \times 0.16} = 0.6 \times \sqrt{0.04} = 0.6 \times 0.2 = 0.12
\]
3. **求 $ E(2X - Y + 1) $：**
- 利用期望的线性性质，我们有：
\[
E(2X - Y + 1) = 2E(X) - E(Y) + 1 = 2 \times \frac{1}{2} - 0.2 + 1 = 1 - 0.2 + 1 = 1.8
\]
4. **求 $ \text{Var}(2X - Y + 1) $：**
- $ 2X - Y + 1 $ 的方差为：
\[
\text{Var}(2X - Y + 1) = \text{Var}(2X) + \text{Var}(-Y) + 2 \text{Cov}(2X, -Y) = 4 \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 4 \text{Cov}(X, Y)
\]
代入已知值：
\[
\text{Var}(2X - Y + 1) = 4 \times \frac{1}{4} + 0.16 - 4 \times 0.12 = 1 + 0.16 - 0.48 = 0.68
\]
5. **求 $ E[(2X - Y + 1)^2] $：**
- 利用恒等式 $ E(Z^2) = \text{Var}(Z) + [E(Z)]^2 $ 其中 $ Z = 2X - Y + 1 $，我们有：
\[
E[(2X - Y + 1)^2] = \text{Var}(2X - Y + 1) + [E(2X - Y + 1)]^2 = 0.68 + 1.8^2 = 0.68 + 3.24 = 3.92
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{3.92}
\]
解析
本题主要考查指数分布、二项分布的期望与方差公式，相关系数与协方差的关系，以及期望和方差的性质。解题思路如下：
- 首先，根据指数分布和二项分布的期望与方差公式，分别求出随机变量$X$和$Y$的期望和方差。
- 对于指数分布$X\sim Exp(\lambda)$，其期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。已知$X\sim Exp(2)$，即$\lambda = 2$，则：
$\begin{align*}E(X)&=\frac{1}{2}\\Var(X)&=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\end{align*}$ - 对于二项分布$Y\sim B(n,p)$，其期望$E(Y)=np$，方差$Var(Y)=np(1 - p)$。已知$Y\sim B(1,0.2)$，即$n = 1$，$p = 0.2$，则：
$\begin{align*}E(Y)&=1\times0.2 = 0.2\\Var(Y)&=1\times0.2\times(1 - 0.2)=0.2\times0.8 = 0.16\end{align*}$
- 对于指数分布$X\sim Exp(\lambda)$，其期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。已知$X\sim Exp(2)$，即$\lambda = 2$，则：
- 然后，根据相关系数与协方差的关系$Cov(X,Y)=\rho(X,Y)\sqrt{Var(X)Var(Y)}$，求出$X$和$Y$的协方差。已知$\rho(X,Y)=0.6$，则：
$\begin{align*}Cov(X,Y)&=0.6\times\sqrt{\frac{1}{4}\times0.16}\\&=0.6\times\sqrt{0.04}\\&=0.6\times0.2\\&= 0.12\end{align*}$ - 接着，利用期望的线性性质$E(aX + bY + c)=aE(X)+bE(Y)+c$，求出$E(2X - Y + 1)$。
$\begin{align*}E(2X - Y + 1)&=2E(X)-E(Y)+1\\&=2\times\frac{1}{2}-0.2 + 1\\&=1 - 0.2 + 1\\&= 1.8\end{align*}$ - 再根据方差的性质$Var(aX + bY + c)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y)$，求出$Var(2X - Y + 1)$。
$\begin{align*}Var(2X - Y + 1)&=Var(2X)+Var(-Y)+2Cov(2X,-Y)\\&=2^2Var(X)+(-1)^2Var(Y)+2\times2\times(-1)Cov(X,Y)\\&=4Var(X)+Var(Y)-4Cov(X,Y)\\&=4\times\frac{1}{4}+0.16 - 4\times0.12\\&=1 + 0.16 - 0.48\\&= 0.68\end{align*}$ - 最后，利用恒等式$E(Z^2)=Var(Z)+[E(Z)]^2$（其中$Z = 2X - Y + 1$），求出$E[(2X - Y + 1)^2]$。
$\begin{align*}E[(2X - Y + 1)^2]&=Var(2X - Y + 1)+[E(2X - Y + 1)]^2\\&=0.68 + 1.8^2\\&=0.68 + 3.24\\&= 3.92\end{align*}$