题目
求解下列各题 ( 可降阶 ) （1）求方程+1)y'+y'=ln (x+1)的通解。（2）求方程+1)y'+y'=ln (x+1)的特解。
求解下列各题 ( 可降阶 )
（1）求方程
的通解。
（2）求方程
的特解。
题目解答
答案
（1）方程属于
的类型，所以可以令
，所以原方程可化为：
，所以
，所以
，所以有：
，即：
，所以
（2）方程中，可以发现属于
的类型，所以令
，所以原方程可化为：
，两边同时除以
可得：
，令
，所以
，再由：
可得：
，所以
，所以：
，因为：
解析
步骤 1：令$y'=p$，则$y''=\dfrac{dp}{dx}$。
步骤 2：将$y'$和$y''$的表达式代入原方程，得到$(x+1)\dfrac{dp}{dx}+p=\ln(x+1)$。
步骤 3：将方程$(x+1)\dfrac{dp}{dx}+p=\ln(x+1)$化简为$\dfrac{d[(x+1)p]}{dx}=\ln(x+1)$。
步骤 4：对上式两边积分，得到$(x+1)p=(x+1)\ln(x+1)-(x+1)+C_1$。
步骤 5：解出$p$，得到$p=\ln(x+1)-1+\dfrac{C_1}{x+1}$。
步骤 6：将$p$代回$y'$，得到$y'=\ln(x+1)-1+\dfrac{C_1}{x+1}$。
步骤 7：对$y'$积分，得到$y=(x+1)\ln(x+1)-2x+C_1\ln(x+1)+C_2$。
【答案】
$y=(x+1)\ln(x+1)-2x+C_1\ln(x+1)+C_2$。
（2）求方程$\left \{ \begin{matrix} 2yy''=y''+{y}^{2}\\ y(0)=1,y'(0)=-1\end{matrix} \right.$的特解。
【解析】
步骤 1：令$y'=p$，则$y''=p\dfrac{dp}{dy}$。
步骤 2：将$y'$和$y''$的表达式代入原方程，得到$2yp\dfrac{dp}{dy}=p^2+y^2$。
步骤 3：将方程$2yp\dfrac{dp}{dy}=p^2+y^2$化简为$\dfrac{2p}{y}\dfrac{dp}{dy}=(\dfrac{p}{y})^2+1$。
步骤 4：令$\dfrac{p}{y}=u$，则$\dfrac{dp}{dy}=u+\dfrac{du}{dy}y$。
步骤 5：将$\dfrac{p}{y}=u$代入方程，得到$2uy\dfrac{du}{dy}=1-u^2$。
步骤 6：将$y(0)=1$和$y'(0)=-1$代入，得到$u(0)=-1$。
步骤 7：解出$u$，得到$u=-\tan(\dfrac{x}{2}+C)$。
步骤 8：将$u$代回$y'$，得到$y'=-y\tan(\dfrac{x}{2}+C)$。
步骤 9：对$y'$积分，得到$y=e^{-\ln(\cos(\dfrac{x}{2}+C))}=e^{\ln(\sec(\dfrac{x}{2}+C))}=\sec(\dfrac{x}{2}+C)$。
步骤 10：将$y(0)=1$代入，得到$C=0$。
步骤 2：将$y'$和$y''$的表达式代入原方程，得到$(x+1)\dfrac{dp}{dx}+p=\ln(x+1)$。
步骤 3：将方程$(x+1)\dfrac{dp}{dx}+p=\ln(x+1)$化简为$\dfrac{d[(x+1)p]}{dx}=\ln(x+1)$。
步骤 4：对上式两边积分，得到$(x+1)p=(x+1)\ln(x+1)-(x+1)+C_1$。
步骤 5：解出$p$，得到$p=\ln(x+1)-1+\dfrac{C_1}{x+1}$。
步骤 6：将$p$代回$y'$，得到$y'=\ln(x+1)-1+\dfrac{C_1}{x+1}$。
步骤 7：对$y'$积分，得到$y=(x+1)\ln(x+1)-2x+C_1\ln(x+1)+C_2$。
【答案】
$y=(x+1)\ln(x+1)-2x+C_1\ln(x+1)+C_2$。
（2）求方程$\left \{ \begin{matrix} 2yy''=y''+{y}^{2}\\ y(0)=1,y'(0)=-1\end{matrix} \right.$的特解。
【解析】
步骤 1：令$y'=p$，则$y''=p\dfrac{dp}{dy}$。
步骤 2：将$y'$和$y''$的表达式代入原方程，得到$2yp\dfrac{dp}{dy}=p^2+y^2$。
步骤 3：将方程$2yp\dfrac{dp}{dy}=p^2+y^2$化简为$\dfrac{2p}{y}\dfrac{dp}{dy}=(\dfrac{p}{y})^2+1$。
步骤 4：令$\dfrac{p}{y}=u$，则$\dfrac{dp}{dy}=u+\dfrac{du}{dy}y$。
步骤 5：将$\dfrac{p}{y}=u$代入方程，得到$2uy\dfrac{du}{dy}=1-u^2$。
步骤 6：将$y(0)=1$和$y'(0)=-1$代入，得到$u(0)=-1$。
步骤 7：解出$u$，得到$u=-\tan(\dfrac{x}{2}+C)$。
步骤 8：将$u$代回$y'$，得到$y'=-y\tan(\dfrac{x}{2}+C)$。
步骤 9：对$y'$积分，得到$y=e^{-\ln(\cos(\dfrac{x}{2}+C))}=e^{\ln(\sec(\dfrac{x}{2}+C))}=\sec(\dfrac{x}{2}+C)$。
步骤 10：将$y(0)=1$代入，得到$C=0$。