题目
一个箭体质量为M0（不含燃料部分），载有燃料m0的火箭在太空中由静止开始点火，燃烧后的炽热气体相对于火箭以u的速度向后喷出。求：（1）燃料耗尽时火箭的速度是多少？（2）若火箭在均匀重力场g中垂直起飞，T时间后燃料耗尽，则燃料耗尽瞬间火箭速度是多大？
一个箭体质量为M0（不含燃料部分），载有燃料m0的火箭在太空中由静止开始点火，燃烧后的炽热气体相对于火箭以u的速度向后喷出。求：
（1）燃料耗尽时火箭的速度是多少？
（2）若火箭在均匀重力场g中垂直起飞，T时间后燃料耗尽，则燃料耗尽瞬间火箭速度是多大？
（1）燃料耗尽时火箭的速度是多少？
（2）若火箭在均匀重力场g中垂直起飞，T时间后燃料耗尽，则燃料耗尽瞬间火箭速度是多大？
题目解答
答案
解：（1）以火箭飞行的方向为正方向，以地面为参考系，设燃料耗尽时火箭的速度是为v，则气体的速度大小：v′=v-u
根据动量守恒定律得：0=（M0-m0）v+m0（v-u）
解得：v=$\frac{{m}_{0}}{{M}_{0}}$u
（2）设火箭的质量为m1，根据动量定理以及微积分知识可知，
（m1-dm1）（v+dv）-（u-v-dv）dm1-m1v=-m1gdt
化简得：m1dv-udm1=-m1gdt
dv−$\frac{\;u}{{m}_{1}}$dm1=−gdt
积分得：$∫{\;}_{0}^{v}$dv=$∫{\;}_{{M}_{0}-{m}_{0}}^{{M}_{0}}$$\frac{u}{{m}_{1}}$dm1−$∫{\;}_{0}^{T}$gdt
解得：v=uln$\frac{{M}_{0}}{{M}_{0}-{m}_{0}}$−gT
答：（1）燃料耗尽时火箭的速度是$\frac{{m}_{0}}{{M}_{0}}$u。
（2）燃料耗尽瞬间火箭速度是uln$\frac{{M}_{0}}{{M}_{0}-{m}_{0}}$−gT。
根据动量守恒定律得：0=（M0-m0）v+m0（v-u）
解得：v=$\frac{{m}_{0}}{{M}_{0}}$u
（2）设火箭的质量为m1，根据动量定理以及微积分知识可知，
（m1-dm1）（v+dv）-（u-v-dv）dm1-m1v=-m1gdt
化简得：m1dv-udm1=-m1gdt
dv−$\frac{\;u}{{m}_{1}}$dm1=−gdt
积分得：$∫{\;}_{0}^{v}$dv=$∫{\;}_{{M}_{0}-{m}_{0}}^{{M}_{0}}$$\frac{u}{{m}_{1}}$dm1−$∫{\;}_{0}^{T}$gdt
解得：v=uln$\frac{{M}_{0}}{{M}_{0}-{m}_{0}}$−gT
答：（1）燃料耗尽时火箭的速度是$\frac{{m}_{0}}{{M}_{0}}$u。
（2）燃料耗尽瞬间火箭速度是uln$\frac{{M}_{0}}{{M}_{0}-{m}_{0}}$−gT。
解析
步骤 1：确定火箭和燃料的初始状态
火箭初始静止，箭体质量为M_0，载有燃料m_0，燃烧后的气体相对于火箭以u的速度向后喷出。
步骤 2：计算燃料耗尽时火箭的速度
以火箭飞行的方向为正方向，以地面为参考系，设燃料耗尽时火箭的速度为v，则气体的速度大小：v′=v-u
根据动量守恒定律得：0=（M_0-m_0）v+m_0（v-u）
解得：v=$\frac{{m}_{0}}{{M}_{0}}$u
步骤 3：计算火箭在均匀重力场中垂直起飞时燃料耗尽瞬间的速度
设火箭的质量为m_1，根据动量定理以及微积分知识可知，
（m_1-dm_1）（v+dv）-（u-v-dv）dm_1-m_1v=-m_1gdt
化简得：m_1dv-udm_1=-m_1gdt
dv−$\frac{\;u}{{m}_{1}}$dm_1=−gdt
积分得：$∫{\;}_{0}^{v}$dv=$∫{\;}_{{M}_{0}-{m}_{0}}^{{M}_{0}}$$\frac{u}{{m}_{1}}$dm_1−$∫{\;}_{0}^{T}$gdt
解得：v=uln$\frac{{M}_{0}}{{M}_{0}-{m}_{0}}$−gT
火箭初始静止，箭体质量为M_0，载有燃料m_0，燃烧后的气体相对于火箭以u的速度向后喷出。
步骤 2：计算燃料耗尽时火箭的速度
以火箭飞行的方向为正方向，以地面为参考系，设燃料耗尽时火箭的速度为v，则气体的速度大小：v′=v-u
根据动量守恒定律得：0=（M_0-m_0）v+m_0（v-u）
解得：v=$\frac{{m}_{0}}{{M}_{0}}$u
步骤 3：计算火箭在均匀重力场中垂直起飞时燃料耗尽瞬间的速度
设火箭的质量为m_1，根据动量定理以及微积分知识可知，
（m_1-dm_1）（v+dv）-（u-v-dv）dm_1-m_1v=-m_1gdt
化简得：m_1dv-udm_1=-m_1gdt
dv−$\frac{\;u}{{m}_{1}}$dm_1=−gdt
积分得：$∫{\;}_{0}^{v}$dv=$∫{\;}_{{M}_{0}-{m}_{0}}^{{M}_{0}}$$\frac{u}{{m}_{1}}$dm_1−$∫{\;}_{0}^{T}$gdt
解得：v=uln$\frac{{M}_{0}}{{M}_{0}-{m}_{0}}$−gT