设函数 varphi(x) 连续，且满足 varphi(x)= e^x + int_0^x t varphi(t), dt - x int_0^x varphi(t), dt，则 varphi(x)= ( ).A. (x)/(2) (cos x + sin x + e^x)B. (x)/(2) (cos x + sin x)+ (1)/(2) e^xC. (1)/(2) (cos x + sin x)+ e^xD. (1)/(2) (cos x + sin x + e^x)

本题考查积分方程转化为微分方程的能力，以及二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。解题核心思路是：

1. 对原方程两次求导，消去积分项，得到微分方程；
2. 解对应的齐次方程，找到通解形式；
3. 构造特解，结合非齐次项的形式；
4. 利用初始条件确定通解中的常数。

步骤1：对原方程求导

原方程：
$\varphi(x) = e^x + \int_0^x t \varphi(t)\, dt - x \int_0^x \varphi(t)\, dt$
对两边求导：

• 第一项导数为 $e^x$；
• 第二项导数为 $x \varphi(x)$（莱布尼茨法则）；
• 第三项导数为 $-\int_0^x \varphi(t)\, dt - x \varphi(x)$（乘积法则）。

整理得：
$\varphi'(x) = e^x - \int_0^x \varphi(t)\, dt$

步骤2：再次求导消去积分项

对 $\varphi'(x)$ 再次求导：
$\varphi''(x) = e^x - \varphi(x)$
整理为微分方程：
$\varphi''(x) + \varphi(x) = e^x$

步骤3：解齐次方程

齐次方程 $\varphi'' + \varphi = 0$ 的特征方程为 $r^2 + 1 = 0$，根为 $r = \pm i$，通解为：
$\varphi_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

步骤4：求特解

非齐次项为 $e^x$，设特解 $\varphi_p = A e^x$，代入方程得：
$A e^x + A e^x = e^x \implies A = \frac{1}{2}$
故特解为 $\varphi_p(x) = \frac{1}{2} e^x$。

步骤5：确定初始条件

• 当 $x=0$ 时，原方程 $\varphi(0) = e^0 = 1$；
• 由 $\varphi'(0) = e^0 - \int_0^0 \varphi(t)\, dt = 1$。

步骤6：代入通解求常数

通解为：
$\varphi(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac{1}{2} e^x$
代入初始条件：

• $\varphi(0) = C_1 + \frac{1}{2} = 1 \implies C_1 = \frac{1}{2}$；
• $\varphi'(0) = C_2 + \frac{1}{2} = 1 \implies C_2 = \frac{1}{2}$。

最终解为：
$\varphi(x) = \frac{1}{2} (\cos x + \sin x + e^x)$