题目
求变力 = 3x+y,2y-x 将质点沿椭圆 (x)^2+(y)^2=4 的正向转动一周所-|||-做的功.
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化椭圆
椭圆 $4x^2 + y^2 = 4$ 可以参数化为 $x = \cos t$ 和 $y = 2\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算力场在椭圆上的表达式
将 $x = \cos t$ 和 $y = 2\sin t$ 代入力场 $F = \{3x + y, 2y - x\}$，得到 $F = \{3\cos t + 2\sin t, 4\sin t - \cos t\}$。
步骤 3：计算椭圆的切向量
椭圆的切向量为 $\frac{d}{dt}(\cos t, 2\sin t) = (-\sin t, 2\cos t)$。
步骤 4：计算力场与切向量的点积
力场与切向量的点积为 $(3\cos t + 2\sin t)(-\sin t) + (4\sin t - \cos t)(2\cos t)$。
步骤 5：计算积分
将点积在 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 的积分计算出来，得到所做的功。
椭圆 $4x^2 + y^2 = 4$ 可以参数化为 $x = \cos t$ 和 $y = 2\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算力场在椭圆上的表达式
将 $x = \cos t$ 和 $y = 2\sin t$ 代入力场 $F = \{3x + y, 2y - x\}$，得到 $F = \{3\cos t + 2\sin t, 4\sin t - \cos t\}$。
步骤 3：计算椭圆的切向量
椭圆的切向量为 $\frac{d}{dt}(\cos t, 2\sin t) = (-\sin t, 2\cos t)$。
步骤 4：计算力场与切向量的点积
力场与切向量的点积为 $(3\cos t + 2\sin t)(-\sin t) + (4\sin t - \cos t)(2\cos t)$。
步骤 5：计算积分
将点积在 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 的积分计算出来，得到所做的功。