题目
例4(求投影,夹角设向量a=(4,-3.2),轴u的正向与三个坐标轴的正向夹角构成相等的锐角①向量a在轴上的投影;②向量a与轴ul的夹角0
例4(求投影,夹角
设向量a=(4,-3.2),轴u的正向与三个坐标轴的正向夹角构成相等的锐角
①向量a在轴上的投影;
②向量a与轴ul的夹角0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定轴u的单位向量
由于轴u的正向与三个坐标轴的正向夹角构成相等的锐角，设这个锐角为$\alpha$，则有$\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$。根据单位向量的性质，有${\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\beta +{\cos }^{2}\gamma =1$。因此，$3{\cos }^{2}\alpha =1$，解得$\cos \alpha =\dfrac {\sqrt {3}}{3}$。所以，轴u的单位向量为$\overrightarrow {e}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$。
步骤 2：计算向量a在轴u上的投影
向量a在轴u上的投影可以通过向量a与轴u的单位向量$\overrightarrow {e}$的点积来计算，即${P}_{1}{V}_{2}=\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {e}$。将向量a=(4,-3,2)和单位向量$\overrightarrow {e}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$代入，得到${P}_{1}{V}_{2}=(4,-3,2)\cdot (\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})=4\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{3}-3\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{3}+2\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{3}=\sqrt {3}$。
步骤 3：计算向量a与轴u的夹角
向量a与轴u的夹角$\theta$可以通过向量a与轴u的单位向量$\overrightarrow {e}$的点积与向量a的模长的比值来计算，即$\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {e}}{|\overrightarrow {a}|}$。将向量a=(4,-3,2)和单位向量$\overrightarrow {e}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$代入，得到$\cos \theta =\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {{4}^{2}+{(-3)}^{2}+{2}^{2}}}=\sqrt {\dfrac {3}{29}}$。因此，$\theta =\arccos(\sqrt {\dfrac {3}{29}})$。
由于轴u的正向与三个坐标轴的正向夹角构成相等的锐角，设这个锐角为$\alpha$，则有$\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$。根据单位向量的性质，有${\cos }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\beta +{\cos }^{2}\gamma =1$。因此，$3{\cos }^{2}\alpha =1$，解得$\cos \alpha =\dfrac {\sqrt {3}}{3}$。所以，轴u的单位向量为$\overrightarrow {e}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$。
步骤 2：计算向量a在轴u上的投影
向量a在轴u上的投影可以通过向量a与轴u的单位向量$\overrightarrow {e}$的点积来计算，即${P}_{1}{V}_{2}=\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {e}$。将向量a=(4,-3,2)和单位向量$\overrightarrow {e}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$代入，得到${P}_{1}{V}_{2}=(4,-3,2)\cdot (\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})=4\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{3}-3\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{3}+2\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{3}=\sqrt {3}$。
步骤 3：计算向量a与轴u的夹角
向量a与轴u的夹角$\theta$可以通过向量a与轴u的单位向量$\overrightarrow {e}$的点积与向量a的模长的比值来计算，即$\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {e}}{|\overrightarrow {a}|}$。将向量a=(4,-3,2)和单位向量$\overrightarrow {e}=(\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3},\dfrac {\sqrt {3}}{3})$代入，得到$\cos \theta =\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {{4}^{2}+{(-3)}^{2}+{2}^{2}}}=\sqrt {\dfrac {3}{29}}$。因此，$\theta =\arccos(\sqrt {\dfrac {3}{29}})$。