设 y = f(x) 的反函数是 x = varphi(y)，且 f(x) = int_(1)^2x e^t^2 dt + 1，则 varphi''(1) = ____
设 $y = f(x)$ 的反函数是 $x = \varphi(y)$，且 $f(x) = \int_{1}^{2x} e^{t^2} dt + 1$，则 $\varphi''(1) = \_\_\_\_$
题目解答
答案
我们已知函数 $ y = f(x) $ 的反函数是 $ x = \varphi(y) $，也就是说：
$\varphi(f(x)) = x \quad \text{且} \quad f(\varphi(y)) = y$
又已知：
$f(x) = \int_1^{2x} e^{t^2} \, dt + 1$
要求的是：
$\varphi''(1)$
第一步：利用反函数的导数公式
设 $ y = f(x) $，则其反函数 $ x = \varphi(y) $ 满足：
$\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{其中} \quad x = \varphi(y)$
对两边再求导，得到：
$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} \quad \text{其中} \quad x = \varphi(y)$
第二步：计算 $ f'(x) $ 和 $ f''(x) $
我们有：
$f(x) = \int_1^{2x} e^{t^2} \, dt + 1$
利用变限积分求导公式（链式法则）：
$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_1^{2x} e^{t^2} \, dt = e^{(2x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2 e^{4x^2}$
继续求二阶导数：
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 e^{4x^2} \right) = 2 \cdot \frac{d}{dx} \left( e^{4x^2} \right) = 2 \cdot e^{4x^2} \cdot 8x = 16x e^{4x^2}$
第三步：确定 $ x = \varphi(1) $
我们知道：
$f(x) = \int_1^{2x} e^{t^2} \, dt + 1$
我们要求 $ \varphi(1) $，即找出使得 $ f(x) = 1 $ 的 $ x $。
$f(x) = \int_1^{2x} e^{t^2} \, dt + 1 = 1 \Rightarrow \int_1^{2x} e^{t^2} \, dt = 0$
由于被积函数 $ e^{t^2} > 0 $，只有当上下限相等时，积分才为 0：
$\int_1^{2x} e^{t^2} \, dt = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
所以：
$\varphi(1) = \frac{1}{2}$
第四步：代入公式求 $ \varphi''(1) $
我们有：
$\varphi''(1) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} \quad \text{其中} \quad x = \varphi(1) = \frac{1}{2}$
先计算：
- $ f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2 e^{4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2 e^{1} = 2e $
- $ f''\left(\frac{1}{2}\right) = 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{1} = 8e $
代入：
$\varphi''(1) = -\frac{8e}{(2e)^3} = -\frac{8e}{8e^3} = -\frac{1}{e^2}$
最终答案：
$\boxed{-\frac{1}{e^2}}$
解析
本题主要考查反函数的求导法则以及变上限积分求导的知识点。解题的关键思路是先根据反函数求导公式得到$\varphi''(y)$关于$f'(x)$和$f''(x)$的表达式，再求出$f'(x)$和$f''(x)$，接着确定$\varphi(1)$的值，最后将$x = \varphi(1)$代入$\varphi''(y)$的表达式中计算$\varphi''(1)$。
- 反函数求导公式推导：
- 已知$y = f(x)$的反函数是$x = \varphi(y)$，根据反函数求导法则，$\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$，其中$x = \varphi(y)$。
- 对$\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$两边关于$y$求导，根据复合函数求导法则$\frac{d}{dy}[\frac{1}{f'(x)}]=\frac{d}{dx}[\frac{1}{f'(x)}]\cdot\frac{dx}{dy}$，因为$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)}$，$\frac{d}{dx}[\frac{1}{f'(x)}]=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^2}$，所以$\varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$，其中$x = \varphi(y)$。
- 计算$f'(x)$和$f''(x)$：
- 已知$f(x)=\int_{1}^{2x}e^{t^2}dt + 1$，根据变上限积分求导公式$\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$，这里$a = 1$，$\varphi(x)=2x$，$f(t)=e^{t^2}$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{1}^{2x}e^{t^2}dt=e^{(2x)^2}\cdot\frac{d}{dx}(2x)=2e^{4x^2}$。
- 对$f'(x)=2e^{4x^2}$求导，根据复合函数求导法则$\frac{d}{dx}(2e^{4x^2})=2\cdot\frac{d}{dx}(e^{4x^2})$，令$u = 4x^2$，则$\frac{d}{dx}(e^{4x^2})=\frac{d}{du}(e^u)\cdot\frac{du}{dx}=e^u\cdot8x=e^{4x^2}\cdot8x$，所以$f''(x)=2\cdot e^{4x^2}\cdot8x = 16xe^{4x^2}$。
- 确定$x = \varphi(1)$的值：
- 令$f(x)=1$，即$\int_{1}^{2x}e^{t^2}dt + 1 = 1$，移项可得$\int_{1}^{2x}e^{t^2}dt = 0$。
- 因为被积函数$e^{t^2}>0$，根据定积分的性质，只有当积分上限和下限相等时，定积分的值才为$0$，所以$2x = 1$，解得$x=\frac{1}{2}$，即$\varphi(1)=\frac{1}{2}$。
- 计算$\varphi''(1)$：
- 将$x = \varphi(1)=\frac{1}{2}$代入$f'(x)$和$f''(x)$中，可得$f'(\frac{1}{2})=2e^{4\times(\frac{1}{2})^2}=2e$，$f''(\frac{1}{2})=16\times\frac{1}{2}\times e^{4\times(\frac{1}{2})^2}=8e$。
- 再将$f'(\frac{1}{2}) = 2e$，$f''(\frac{1}{2}) = 8e$代入$\varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$中，可得$\varphi''(1)=-\frac{8e}{(2e)^3}=-\frac{8e}{8e^3}=-\frac{1}{e^2}$。