题目
9-5 一长为l的均匀带电直导线,其电荷线密-|||-度为λ.试求导线延长线上距离近端为a的一点P处的电场密度.
题目解答
答案
最佳答案 
解析
步骤 1：确定电场强度的微分表达式
在导线延长线上距离近端为a的一点P处，考虑导线上一小段长度为dr的带电部分，其电荷量为dq=λdr。根据点电荷的电场强度公式，该小段带电部分在P点产生的电场强度微分为：
$$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dr}{r^2}$$
步骤 2：积分求解总电场强度
由于导线的长度为l，P点距离导线近端为a，因此r的积分范围从a到a+l。将微分表达式积分，得到P点的总电场强度E：
$$E = \int_{a}^{a+l} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dr}{r^2}$$
步骤 3：计算积分结果
计算上述积分，得到P点的电场强度E：
$$E = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{a+l} \frac{dr}{r^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{a+l} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+l}\right)$$
在导线延长线上距离近端为a的一点P处，考虑导线上一小段长度为dr的带电部分，其电荷量为dq=λdr。根据点电荷的电场强度公式，该小段带电部分在P点产生的电场强度微分为：
$$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dr}{r^2}$$
步骤 2：积分求解总电场强度
由于导线的长度为l，P点距离导线近端为a，因此r的积分范围从a到a+l。将微分表达式积分，得到P点的总电场强度E：
$$E = \int_{a}^{a+l} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dr}{r^2}$$
步骤 3：计算积分结果
计算上述积分，得到P点的电场强度E：
$$E = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{a+l} \frac{dr}{r^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{a+l} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+l}\right)$$