题目

求极限：lim_(xtoinfty)x^2[e^(1+(1)/(x))^(x)-(1+(1)/(x))^ex]

求极限：$\lim_{x\to\infty}x^{2}\left[e^{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{ex}\right]$

题目解答

答案

令 $y = \frac{1}{x}$，则原极限变为 \[ \lim_{y \to 0} \frac{e^{\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}}} - \left(1 + y\right)^{\frac{e}{y}}}{y^2}. \] 利用泰勒展开： \[ \left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}} = e \left(1 - \frac{y}{2} + \frac{11y^2}{24} + O(y^3)\right), \] \[ \left(1 + y\right)^{\frac{e}{y}} = e^e \left(1 - \frac{ey}{2} + \left(\frac{e}{3} + \frac{e^2}{8}\right)y^2 + O(y^3)\right). \] 展开指数项并整理得： \[ e^{\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}}} - \left(1 + y\right)^{\frac{e}{y}} = \frac{e^{e+1}}{8} y^2 + O(y^3). \] 取极限得： \[ \boxed{\frac{e^{e+1}}{8}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查变量替换、泰勒展开在极限计算中的应用，以及处理复杂指数函数差的技巧。

解题核心思路：

  1. 变量替换：令$y = \frac{1}{x}$，将原极限转化为关于$y \to 0$的形式，简化表达式。
  2. 泰勒展开：对$(1+y)^{1/y}$和$(1+y)^{e/y}$分别展开到$y^2$阶，保留有效项。
  3. 差值计算：将展开后的结果代入原式，提取$y^2$项的系数，最终求得极限。

破题关键点：

  • 识别指数函数的展开形式，利用自然对数转换为多项式展开。
  • 精确计算展开系数，确保保留到$y^2$阶，避免遗漏关键项。

变量替换与表达式转化

令$y = \frac{1}{x}$，则当$x \to \infty$时，$y \to 0$。原极限变为：
$\lim_{y \to 0} \frac{e^{\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}}} - \left(1 + y\right)^{\frac{e}{y}}}{y^2}.$

泰勒展开关键项

  1. 展开$(1+y)^{1/y}$：
    $\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}} = e \left(1 - \frac{y}{2} + \frac{11y^2}{24} + O(y^3)\right).$
    推导：取自然对数后展开$\ln(1+y)$，再对指数函数展开。

  2. 展开$(1+y)^{e/y}$：
    $\left(1 + y\right)^{\frac{e}{y}} = e^e \left(1 - \frac{ey}{2} + \left(\frac{e}{3} + \frac{e^2}{8}\right)y^2 + O(y^3)\right).$
    推导：同理，对$\ln(1+y)$展开后乘以$e/y$，再对指数函数展开。

差值计算与极限求解

  1. 计算$e^{\left(1+y\right)^{1/y}}$：
    将$(1+y)^{1/y}$的展开式代入指数函数，保留到$y^2$项：
    $e^{\left(1+y\right)^{1/y}} = e^{e} \left(1 - \frac{ey}{2} + \frac{e^2 y^2}{8} + O(y^3)\right).$

  2. 计算差值：
    $e^{\left(1+y\right)^{1/y}} - \left(1+y\right)^{e/y} = \frac{e^{e+1}}{8} y^2 + O(y^3).$

  3. 取极限：
    分子中$y^2$项系数为$\frac{e^{e+1}}{8}$，分母为$y^2$，故极限值为$\frac{e^{e+1}}{8}$。