[题目]设函数 y=y(x) 由方程 (y)^3-2(y)^2+2xy-(x)^2=1 所-|||-确定,试求 y=y(x) 的驻点,并判别它是否为极值点.

考查要点：本题主要考查隐函数求导、驻点求解及极值判别的方法。
解题思路：

1. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，得到$y'$的表达式；
2. 求驻点：令$y'=0$，联立原方程解出可能的驻点坐标；
3. 二阶导数判别：对导数方程再次求导，代入驻点坐标判断二阶导数的符号，确定极值类型。
   关键点：隐函数求导时需注意乘积法则和链式法则，解三次方程时需验证实数根的存在性。

1. 对原方程求导

原方程：
$2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1$
对$x$求导，得：
$\begin{aligned}6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x &= 0 \\\Rightarrow y'(6y^2 - 4y + 2x) &= 2x - 2y \\\Rightarrow y' &= \frac{2x - 2y}{6y^2 - 4y + 2x}\end{aligned}$

2. 求驻点

令$y'=0$，则分子为$0$，即：
$2x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = y$
将$x=y$代入原方程：
$\begin{aligned}2y^3 - 2y^2 + 2y \cdot y - y^2 &= 1 \\2y^3 - y^2 - 1 &= 0\end{aligned}$
试根得$y=1$，代入$x=y$得驻点$(1,1)$。验证三次方程：
$2y^3 - y^2 - 1 = (y-1)(2y^2 + y + 1) = 0$
仅实数解为$y=1$，故唯一驻点为$(1,1)$。

3. 判别极值

对导数方程再次求导，代入$(1,1)$：
$\begin{aligned}\text{原导数方程：} \quad 6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x &= 0 \\\text{再次求导并整理得：} \quad y''(6y^2 - 4y + 2x) &= 2 \\\text{代入} \ (1,1): \quad y'' \cdot 4 &= 2 \\\Rightarrow y'' &= \frac{1}{2} > 0\end{aligned}$
二阶导数为正，故$(1,1)$为极小值点。