题目
17．函数 f (x , y)=sin( x2+ y) 在点 (0,0) 处（ ）A. 无定义；B. 无极限；C. 有极限，但不连续；D. 连续.
17．函数 f (x , y)=sin( x2+ y) 在点 (0,0) 处（ ）
A. 无定义；
B. 无极限；
C. 有极限，但不连续；
D. 连续.
题目解答
答案
D. 连续.
解析
步骤 1：检查函数在点 (0,0) 处的定义
函数 f(x, y) = sin(x^2 + y) 在点 (0,0) 处的定义为 f(0,0) = sin(0^2 + 0) = sin(0) = 0。因此，函数在点 (0,0) 处有定义。
步骤 2：计算函数在点 (0,0) 处的极限
为了计算函数在点 (0,0) 处的极限，我们考虑当 (x,y) 趋近于 (0,0) 时，函数 f(x,y) 的值。由于 sin 函数是连续的，我们可以直接将 (0,0) 代入函数中，得到：
lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = lim_{(x,y)→(0,0)} sin(x^2 + y) = sin(0^2 + 0) = sin(0) = 0。
因此，函数在点 (0,0) 处的极限存在且等于 0。
步骤 3：检查函数在点 (0,0) 处的连续性
由于函数在点 (0,0) 处有定义，且在该点处的极限存在且等于函数值，因此函数在点 (0,0) 处是连续的。
函数 f(x, y) = sin(x^2 + y) 在点 (0,0) 处的定义为 f(0,0) = sin(0^2 + 0) = sin(0) = 0。因此，函数在点 (0,0) 处有定义。
步骤 2：计算函数在点 (0,0) 处的极限
为了计算函数在点 (0,0) 处的极限，我们考虑当 (x,y) 趋近于 (0,0) 时，函数 f(x,y) 的值。由于 sin 函数是连续的，我们可以直接将 (0,0) 代入函数中，得到：
lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = lim_{(x,y)→(0,0)} sin(x^2 + y) = sin(0^2 + 0) = sin(0) = 0。
因此，函数在点 (0,0) 处的极限存在且等于 0。
步骤 3：检查函数在点 (0,0) 处的连续性
由于函数在点 (0,0) 处有定义，且在该点处的极限存在且等于函数值，因此函数在点 (0,0) 处是连续的。