题目
12.（5.0分）设随机变量X的密度函数为 f(x)= cases (2x, & 0A. 0B. 0.25C. 0.5D. 0.8
12.（5.0分）设随机变量X的密度函数为 $f(x)= \cases {2x, & $0<1$ \cr 0, & 其它}$ 则P{-0.5≤X≤0.5}=___.
A. 0
B. 0.25
C. 0.5
D. 0.8
题目解答
答案
B. 0.25
解析
步骤 1：理解密度函数
给定的密度函数为：\[ f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{if } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \] 这意味着 $ f(x) $ 在 $ 0 < x < 1 $ 时为 $ 2x $，在其他情况下为 $ 0 $。
步骤 2：计算概率
为了求解 $ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} $，我们需要在区间 $[-0.5, 0.5]$ 上积分 $ f(x) $。根据概率密度函数的定义，这个概率可以通过在区间 $[-0.5, 0.5]$ 上积分 $ f(x) $ 来计算：\[ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = \int_{-0.5}^{0.5} f(x) \, dx \] 由于 $ f(x) = 0 $ 当 $ x \leq 0 $ 或 $ x \geq 1 $，因此在区间 $[-0.5, 0]$ 上 $ f(x) = 0 $。所以，积分可以简化为：\[ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = \int_{-0.5}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{0.5} f(x) \, dx = \int_{-0.5}^{0} 0 \, dx + \int_{0}^{0.5} 2x \, dx \] 第一个积分等于 $ 0 $，所以只剩下：\[ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = \int_{0}^{0.5} 2x \, dx \]
步骤 3：计算积分
现在，我们计算这个积分：\[ \int_{0}^{0.5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{0.5} = 0.5^2 - 0^2 = 0.25 \] 因此， $ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = 0.25 $。
给定的密度函数为：\[ f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{if } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \] 这意味着 $ f(x) $ 在 $ 0 < x < 1 $ 时为 $ 2x $，在其他情况下为 $ 0 $。
步骤 2：计算概率
为了求解 $ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} $，我们需要在区间 $[-0.5, 0.5]$ 上积分 $ f(x) $。根据概率密度函数的定义，这个概率可以通过在区间 $[-0.5, 0.5]$ 上积分 $ f(x) $ 来计算：\[ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = \int_{-0.5}^{0.5} f(x) \, dx \] 由于 $ f(x) = 0 $ 当 $ x \leq 0 $ 或 $ x \geq 1 $，因此在区间 $[-0.5, 0]$ 上 $ f(x) = 0 $。所以，积分可以简化为：\[ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = \int_{-0.5}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{0.5} f(x) \, dx = \int_{-0.5}^{0} 0 \, dx + \int_{0}^{0.5} 2x \, dx \] 第一个积分等于 $ 0 $，所以只剩下：\[ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = \int_{0}^{0.5} 2x \, dx \]
步骤 3：计算积分
现在，我们计算这个积分：\[ \int_{0}^{0.5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{0.5} = 0.5^2 - 0^2 = 0.25 \] 因此， $ P\{-0.5 \leq X \leq 0.5\} = 0.25 $。