若当x→x0时，α（x）、β（x）都是无穷小，则当x→x0时，下列表达式不一定是无穷小的是（ ）A. |α（x）|+|β（x）|B. α2（x）+β2（x）C. ln[1+α（x）•β（x）]D. ((α)^2（x）)/(β（x）)

考查要点：本题主要考查无穷小量的运算性质，特别是不同运算组合后的极限行为。

解题核心思路：

1. 无穷小量的定义：当$x \to x_0$时，若$\alpha(x) \to 0$且$\beta(x) \to 0$，则称它们为无穷小。
2. 关键性质：
   • 有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小；
   • 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小；
   • 分母为无穷小的分式可能发散，需具体分析分子与分母的趋近速度。

破题关键点：

• 选项D的分母是$\beta(x)$，当$\beta(x) \to 0$时，若分子$\alpha^2(x)$趋近于0的速度比分母慢，则分式可能发散，从而不一定是无穷小。

选项分析

选项A：$|\alpha(x)| + |\beta(x)|

• 性质应用：两个非负无穷小的和仍为无穷小。
• 结论：一定是无穷小。

选项B：$\alpha^2(x) + \beta^2(x)$

• 性质应用：平方运算保持非负性，且无穷小的平方仍是无穷小。
• 结论：一定是无穷小。

选项C：$\ln[1 + \alpha(x)\beta(x)]$

• 泰勒展开：当$\alpha(x)\beta(x) \to 0$时，$\ln(1 + \epsilon) \approx \epsilon$（$\epsilon$为无穷小）。
• 等价无穷小：$\ln[1 + \alpha(x)\beta(x)] \sim \alpha(x)\beta(x)$，而乘积$\alpha(x)\beta(x)$是无穷小。
• 结论：一定是无穷小。

选项D：$\frac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$

• 反例分析：
  设$\alpha(x) = x - x_0$，$\beta(x) = (x - x_0)^3$，则：
  $\frac{\alpha^2(x)}{\beta(x)} = \frac{(x - x_0)^2}{(x - x_0)^3} = \frac{1}{x - x_0}.$
  当$x \to x_0$时，分母趋近于0的速度比分子快，导致分式趋向$+\infty$，不再是无穷小。
• 结论：不一定是无穷小。