题目
例6 某工厂生产A、B两种型号的产品,A型产品的售价为1000元/件,B型-|||-产品的售价为900元/件,生产x件A型产品和y件B型产品的总成本为 40000+-|||-+300y+3(x)^2+xy+3(y)^2 元.求A、B两种产品各生产多少时,利润最大?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义利润函数
设L(x,y)为生产x件A型产品和y件B型产品时获得的总利润，则
$L(x,y) = 1000x + 900y - (40000 + 200x + 300y + 3x^2 + xy + 3y^2)$
$= -3x^2 - xy - 3y^2 + 800x + 600y - 40000$
步骤 2：求偏导数
为了找到利润函数的极值点，我们需要计算L(x,y)关于x和y的偏导数，并令它们等于0。
$L_x(x,y) = -6x - y + 800$
$L_y(x,y) = -x - 6y + 600$
步骤 3：解方程组
解方程组
$\left \{ \begin{matrix} {L}_{x}(x,y)=-6x-y+800=0\\ {L}_{y}(x,y)=-x-6y+600=0\end{matrix} \right.$
得到
$x=120$
$y=80$
步骤 4：验证极值点
计算二阶偏导数
$L_{xx} = -6$
$L_{xy} = -1$
$L_{yy} = -6$
根据二阶偏导数的判别式
$AC - B^2 = (-6)(-6) - (-1)^2 = 35 > 0$
且$L_{xx} < 0$，所以L(x,y)在(120,80)处取得极大值。
设L(x,y)为生产x件A型产品和y件B型产品时获得的总利润，则
$L(x,y) = 1000x + 900y - (40000 + 200x + 300y + 3x^2 + xy + 3y^2)$
$= -3x^2 - xy - 3y^2 + 800x + 600y - 40000$
步骤 2：求偏导数
为了找到利润函数的极值点，我们需要计算L(x,y)关于x和y的偏导数，并令它们等于0。
$L_x(x,y) = -6x - y + 800$
$L_y(x,y) = -x - 6y + 600$
步骤 3：解方程组
解方程组
$\left \{ \begin{matrix} {L}_{x}(x,y)=-6x-y+800=0\\ {L}_{y}(x,y)=-x-6y+600=0\end{matrix} \right.$
得到
$x=120$
$y=80$
步骤 4：验证极值点
计算二阶偏导数
$L_{xx} = -6$
$L_{xy} = -1$
$L_{yy} = -6$
根据二阶偏导数的判别式
$AC - B^2 = (-6)(-6) - (-1)^2 = 35 > 0$
且$L_{xx} < 0$，所以L(x,y)在(120,80)处取得极大值。