题目

求int dfrac (x+1)(xsqrt {x-4)}dx.

求 $\int_{ }^{ }\frac{x+1}{x\sqrt{x-4}}dx$ .

题目解答

答案

本题考查不定积分的计算.

由于该被积函数的分母为根式，且自变量次数不是平方，不适用于三角换元，那么思路可以转向将最难处理的一部分进行换元.

令 $\sqrt{x-4}=t$ ，则 $x=t^2+4$ ， $dx=2tdt$ .

则：

$\int_{ }^{ }\frac{x+1}{x\sqrt{x-4}}dx$

$=\int_{ }^{ }\frac{t^2+4+1}{\left(t^2+4\right)t}dx$

$=2\int_{ }^{ }1+\frac{1}{4+t^2}dt$

$=2\left(t+\frac{t}{2}\arctan\frac{t}{2}\right)+C$

将 $x$ 回代，有：

$\int_{ }^{ }\frac{x+1}{x\sqrt{x-4}}dx=2\sqrt{x-4}+\arctan\frac{\sqrt{x-4}}{2}+C.$

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过换元法处理根式分母的技巧，以及分式拆分简化积分的能力。

解题核心思路：

换元法：针对分母中的根式$\sqrt{x-4}$，令$t = \sqrt{x-4}$，将原积分转化为关于$t$的有理分式积分。
分式拆分：将被积函数拆分为更简单的分式之和，利用基本积分公式求解。
回代变量：将积分结果中的变量$t$替换回原变量$x$，得到最终答案。

破题关键点：

选择合适的换元：通过令$t = \sqrt{x-4}$，消除根式并简化分母结构。
分子拆分技巧：将分子$t^2 + 5$拆分为$(t^2 + 4) + 1$，使积分更容易处理。

步骤1：换元简化积分
令$t = \sqrt{x-4}$，则$x = t^2 + 4$，$dx = 2t \, dt$。将原积分中的$x$和$dx$替换为$t$的表达式：
$\begin{aligned}\int \frac{x+1}{x\sqrt{x-4}} \, dx &= \int \frac{t^2 + 4 + 1}{(t^2 + 4) \cdot t} \cdot 2t \, dt \\&= 2 \int \frac{t^2 + 5}{t^2 + 4} \, dt.\end{aligned}$

步骤2：拆分分式
将分子$t^2 + 5$拆分为$(t^2 + 4) + 1$，积分式变为：
$2 \int \left( 1 + \frac{1}{t^2 + 4} \right) dt.$

步骤3：逐项积分
分别计算两部分积分：

$\int 1 \, dt = t$，
$\int \frac{1}{t^2 + 4} \, dt = \frac{1}{2} \arctan\left( \frac{t}{2} \right)$（利用公式$\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{u}{a} \right)$）。

步骤4：合并结果并回代
将结果合并并代入$t = \sqrt{x-4}$：
$2 \left( t + \frac{1}{2} \arctan\left( \frac{t}{2} \right) \right) + C = 2\sqrt{x-4} + \arctan\left( \frac{\sqrt{x-4}}{2} \right) + C.$