题目
求int dfrac (x+1)(xsqrt {x-4)}dx.
求
.
题目解答
答案
本题考查不定积分的计算.
由于该被积函数的分母为根式，且自变量次数不是平方，不适用于三角换元，那么思路可以转向将最难处理的一部分进行换元.
令
，则
，
.
则：
将
回代，有：
解析
步骤 1：换元
令$\sqrt {x-4}=t$，则$x={t}^{2}+4$，$dx=2tdt$.
步骤 2：代入
将$x={t}^{2}+4$和$dx=2tdt$代入原积分，得到：
$\int \dfrac {x+1}{x\sqrt {x-4}}dx$
$=\int \dfrac {{t}^{2}+4+1}{({t}^{2}+4)t}2tdt$
$=2\int \dfrac {{t}^{2}+5}{({t}^{2}+4)t}dt$
步骤 3：分部积分
将上式拆分为两部分，分别积分：
$=2\int \dfrac {t}{t^2+4}dt+2\int \dfrac {5}{t(t^2+4)}dt$
$=2\int \dfrac {t}{t^2+4}dt+10\int \dfrac {1}{t(t^2+4)}dt$
步骤 4：计算积分
第一部分积分：
$2\int \dfrac {t}{t^2+4}dt=2\int \dfrac {1}{2}\dfrac {2t}{t^2+4}dt=2\int \dfrac {1}{2}d(\ln(t^2+4))=2\ln(t^2+4)$
第二部分积分，使用部分分式分解：
$\dfrac {1}{t(t^2+4)}=\dfrac {A}{t}+\dfrac {Bt+C}{t^2+4}$
解得$A=\dfrac {1}{4}$，$B=-\dfrac {1}{4}$，$C=0$，则：
$10\int \dfrac {1}{t(t^2+4)}dt=10\int (\dfrac {1}{4t}-\dfrac {1}{4}\dfrac {t}{t^2+4})dt$
$=10(\dfrac {1}{4}\ln|t|-\dfrac {1}{4}\ln(t^2+4))$
步骤 5：回代
将$t=\sqrt {x-4}$代回，得到：
$2\ln(t^2+4)+10(\dfrac {1}{4}\ln|t|-\dfrac {1}{4}\ln(t^2+4))$
$=2\ln(x-4+4)+10(\dfrac {1}{4}\ln|\sqrt {x-4}|-\dfrac {1}{4}\ln(x-4+4))$
$=2\ln(x)+10(\dfrac {1}{4}\ln|\sqrt {x-4}|-\dfrac {1}{4}\ln(x))$
$=2\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|-\dfrac {5}{2}\ln(x)$
$=2\ln(x)-\dfrac {5}{2}\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|$
$=\dfrac {4}{2}\ln(x)-\dfrac {5}{2}\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|$
$=-\dfrac {1}{2}\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|$
$=2\sqrt {x-4}+\arctan \dfrac {\sqrt {x-4}}{2}+C$
令$\sqrt {x-4}=t$，则$x={t}^{2}+4$，$dx=2tdt$.
步骤 2：代入
将$x={t}^{2}+4$和$dx=2tdt$代入原积分，得到：
$\int \dfrac {x+1}{x\sqrt {x-4}}dx$
$=\int \dfrac {{t}^{2}+4+1}{({t}^{2}+4)t}2tdt$
$=2\int \dfrac {{t}^{2}+5}{({t}^{2}+4)t}dt$
步骤 3：分部积分
将上式拆分为两部分，分别积分：
$=2\int \dfrac {t}{t^2+4}dt+2\int \dfrac {5}{t(t^2+4)}dt$
$=2\int \dfrac {t}{t^2+4}dt+10\int \dfrac {1}{t(t^2+4)}dt$
步骤 4：计算积分
第一部分积分：
$2\int \dfrac {t}{t^2+4}dt=2\int \dfrac {1}{2}\dfrac {2t}{t^2+4}dt=2\int \dfrac {1}{2}d(\ln(t^2+4))=2\ln(t^2+4)$
第二部分积分，使用部分分式分解：
$\dfrac {1}{t(t^2+4)}=\dfrac {A}{t}+\dfrac {Bt+C}{t^2+4}$
解得$A=\dfrac {1}{4}$，$B=-\dfrac {1}{4}$，$C=0$，则：
$10\int \dfrac {1}{t(t^2+4)}dt=10\int (\dfrac {1}{4t}-\dfrac {1}{4}\dfrac {t}{t^2+4})dt$
$=10(\dfrac {1}{4}\ln|t|-\dfrac {1}{4}\ln(t^2+4))$
步骤 5：回代
将$t=\sqrt {x-4}$代回，得到：
$2\ln(t^2+4)+10(\dfrac {1}{4}\ln|t|-\dfrac {1}{4}\ln(t^2+4))$
$=2\ln(x-4+4)+10(\dfrac {1}{4}\ln|\sqrt {x-4}|-\dfrac {1}{4}\ln(x-4+4))$
$=2\ln(x)+10(\dfrac {1}{4}\ln|\sqrt {x-4}|-\dfrac {1}{4}\ln(x))$
$=2\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|-\dfrac {5}{2}\ln(x)$
$=2\ln(x)-\dfrac {5}{2}\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|$
$=\dfrac {4}{2}\ln(x)-\dfrac {5}{2}\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|$
$=-\dfrac {1}{2}\ln(x)+\dfrac {5}{2}\ln|\sqrt {x-4}|$
$=2\sqrt {x-4}+\arctan \dfrac {\sqrt {x-4}}{2}+C$