甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧,甲城位于岸-|||-边,乙城离河岸40公里,乙城在河岸的垂足与甲城相-|||-距50公里,两城计划在河岸上合建一个污水处理厂,-|||-已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用-|||-分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何-|||-处,才能使铺设排污管道的费用最省

步骤 1：定义变量
设污水处理厂建在河岸离甲城x公里处，其中0≤x≤50。甲城到污水处理厂的距离为x公里，乙城到污水处理厂的距离为$\sqrt{40^2 + (50-x)^2}$公里。

步骤 2：建立费用函数
根据题意，从污水处理厂到甲城铺设排污管道的费用为500x元，到乙城铺设排污管道的费用为700$\sqrt{40^2 + (50-x)^2}$元。因此，总费用函数为：
$$M(x) = 500x + 700\sqrt{40^2 + (50-x)^2}$$

步骤 3：求导数
为了找到费用最省的位置，我们需要对费用函数M(x)求导数，并找到导数为0的点。
$$M'(x) = 500 + 700 \times \frac{1}{2} \times \frac{-2(50-x)}{\sqrt{40^2 + (50-x)^2}}$$
$$M'(x) = 500 - 700 \times \frac{50-x}{\sqrt{40^2 + (50-x)^2}}$$

步骤 4：求解导数为0的点
令M'(x) = 0，解方程：
$$500 - 700 \times \frac{50-x}{\sqrt{40^2 + (50-x)^2}} = 0$$
$$500 = 700 \times \frac{50-x}{\sqrt{40^2 + (50-x)^2}}$$
$$\frac{500}{700} = \frac{50-x}{\sqrt{40^2 + (50-x)^2}}$$
$$\frac{5}{7} = \frac{50-x}{\sqrt{40^2 + (50-x)^2}}$$
$$\frac{5}{7} \sqrt{40^2 + (50-x)^2} = 50-x$$
$$\frac{25}{49} (40^2 + (50-x)^2) = (50-x)^2$$
$$\frac{25}{49} \times 1600 + \frac{25}{49} (50-x)^2 = (50-x)^2$$
$$\frac{25}{49} \times 1600 = (1 - \frac{25}{49}) (50-x)^2$$
$$\frac{25}{49} \times 1600 = \frac{24}{49} (50-x)^2$$
$$25 \times 1600 = 24 (50-x)^2$$
$$40000 = 24 (50-x)^2$$
$$(50-x)^2 = \frac{40000}{24}$$
$$(50-x)^2 = \frac{5000}{3}$$
$$50-x = \sqrt{\frac{5000}{3}}$$
$$x = 50 - \sqrt{\frac{5000}{3}}$$
$$x = 50 - \frac{50\sqrt{6}}{3}$$
$$x = 50 - \frac{500}{\sqrt{6}}$$

步骤 5：验证驻点
由于M(x)在0≤x≤50区间内连续且可导，且M'(x)在x=50 - $\frac{500}{\sqrt{6}}$处为0，因此该点为费用最省的位置。